Étiquette : dérivée globale

Maths · Analyse · Première La Dérivation Globaleen Première Dérivées usuelles, règles de calcul, sens de variation : tout ce qu'il faut maîtriser sur la dérivation en classe de Première, avec des exemples corrigés pas à pas. ⏱ Lecture : 8 min 📐 Niveau : Première ✦ Méthode & Exemples Qu'est-ce que la dérivation ? La dérivation est l'un des outils les plus puissants des mathématiques de Première. Dériver une fonction, c'est mesurer à quelle vitesse elle varie en chaque point de son domaine. Le résultat s'appelle la fonction dérivée, notée \( f' \). Concrètement, si \( f \) représente la position d'un objet en fonction du temps, alors \( f'(x) \) représente sa vitesse à l'instant \( x \). C'est ce lien direct entre dérivée et variation qui rend cet outil indispensable en physique, en économie, et bien sûr au bac. Définition — Nombre dérivé en un point \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] Le nombre dérivé \( f'(a) \) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( a \). Le tableau des dérivées usuelles En Première, il est indispensable de connaître par cœur les dérivées des fonctions de base. Ce tableau est votre point de départ pour tout calcul de dérivation globale. Fonction \( f(x) \) Dérivée \( f'(x) \) Condition \( k \) (constante) \( 0 \) — \( x \) \( 1 \) — \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) \( n \in \mathbb{Z} \) \( \sqrt{x} \) \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) \( x > 0 \) \( \dfrac{1}{x} \) \( -\dfrac{1}{x^2} \) \( x \neq 0 \) \( e^x \) \( e^x \) — \( \ln(x) \) \( \dfrac{1}{x} \) \( x > 0 \) \( \sin(x) \) \( \cos(x) \) Terminale \( \cos(x) \) \( -\sin(x) \) Terminale Les règles de calcul : dérivation globale La dérivation globale, c'est l'ensemble des règles qui permettent de dériver des fonctions complexes construites à partir des fonctions usuelles. Il y en a quatre à maîtriser absolument. 1 Linéarité : somme et produit par un scalaire On peut dériver terme par terme et sortir les constantes multiplicatives. Règle de linéarité \[ (f + g)' = f' + g' \qquad (\lambda f)' = \lambda f' \] Exemple Soit \( f(x) = 3x^2 + 5x - 7 \) \( f'(x) = 3 \cdot 2x + 5 \cdot 1 - 0 = 6x + 5 \) 2 Règle du produit Pour dériver un produit de deux fonctions, on applique la formule suivante : Dérivée d'un produit \[ (u \cdot v)' = u'v + uv' \] Exemple Soit \( f(x) = x^2 \cdot e^x \) On pose \( u = x^2 \) donc \( u' = 2x \), et \( v = e^x \) donc \( v' = e^x \). \( f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2) = x \cdot e^x(x + 2) \) 3 Règle du quotient Pour dériver un quotient de deux fonctions : Dérivée d'un quotient \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \] Exemple Soit \( f(x) = \dfrac{x+1}{x^2} \) \( u = x+1 \), \( u' = 1 \) — \( v = x^2 \), \( v' = 2x \) \( f'(x) = \dfrac{1 \cdot x^2 - (x+1) \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{x^2 - 2x^2 - 2x}{x^4} = \dfrac{-x^2 - 2x}{x^4} = \dfrac{-x-2}{x^3} \) 4 Dérivée d'une fonction composée Lorsqu'une fonction est "emboîtée" dans une autre (ex : \( \sqrt{x^2+1} \)), on utilise la règle de la chaîne. Dérivée composée (règle de la chaîne) \[ (f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x)) \] Exemple Soit \( f(x) = (3x^2 + 1)^4 \) On pose \( g(x) = 3x^2 + 1 \) donc \( g'(x) = 6x \), et \( f(u) = u^4 \) donc \( f'(u) = 4u^3 \). \( f'(x) = 6x \cdot 4(3x^2+1)^3 = 24x(3x^2+1)^3 \) Dérivée et sens de variation L'application la plus importante de la dérivation en Première est l'étude du sens de variation d'une fonction. Le signe de \( f'(x) \) détermine directement si \( f \) est croissante ou décroissante. ↗ Si \( f'(x) > 0 \) sur un intervalle, alors \( f \) est croissante sur cet intervalle ↘ Si \( f'(x) < 0 \) sur un intervalle, alors \( f \) est décroissante sur cet intervalle — Si \( f'(x) = 0 \) en un point, alors \( f \) admet potentiellement un extremum (maximum ou minimum) en ce point Exemple complet — Tableau de variation Soit \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Étudions ses variations. Étape 1 — Calcul de f'(x) : \( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1) \) Étape 2 — Signe de f'(x) : \( f'(x) = 0 \) pour \( x = -1 \) et \( x = 1 \) \( f'(x) > 0 \) sur \( ]-\infty ; -1[ \) et \( ]1 ; +\infty[ \) \( f'(x) < 0 \) sur \( ]-1 ; 1[ \) Conclusion : \( f \) est croissante sur \( ]-\infty ; -1] \), décroissante sur \( [-1 ; 1] \), puis croissante sur \( [1 ; +\infty[ \). Elle admet un maximum local en \( x = -1 \) : \( f(-1) = 4 \) et un minimum local en \( x = 1 \) : \( f(1) = 0 \). Les erreurs classiques à éviter ✕ Oublier la règle du produit : écrire \( (uv)' = u'v' \) est faux. La bonne formule est \( u'v + uv' \). ✕ Confondre \( f(x) \) et \( f'(x) \) : la dérivée de \( x^3 \) est \( 3x^2 \), pas \( 3x^3 \). ✕ Négliger la règle de la chaîne : la dérivée de \( e^{3x} \) est \( 3e^{3x} \), pas simplement \( e^{3x} \). ✕ Conclure trop vite sur les extrema : \( f'(a) = 0 \) est une condition nécessaire, mais pas toujours suffisante. Il faut vérifier le changement de signe. Prêt à tout maîtriser en analyse ? Accède au cours complet de dérivation avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours complet → Pour aller plus loin La dérivation s'articule avec de nombreux autres chapitres du programme de Première. Explorez ces articles pour consolider vos bases. ∫ Le Calcul Infinitésimal Dérivation et intégration : comprendre le lien fondamental entre les deux. ⌒ Parabole, Sommet et Racines Interprétation graphique des fonctions du second degré et de leurs variations. 🎯 Applications du Second Degré Utiliser la dérivée pour résoudre des problèmes d'optimisation concrets. ± Signe d'une Fonction Maîtriser les tableaux de signes, indispensables pour exploiter f'(x).

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