Étiquette : Désintégration Radioactive

Désintégration Radioactive et Activité en Becquerels Physique Nucléaire · Terminale DésintégrationRadioactive etActivité en Bq Pourquoi certains noyaux atomiques sont-ils instables ? Comment se désintègrent-ils ? Qu'est-ce que l'activité en becquerels ? Loi de décroissance, demi-vie, bilans nucléaires — tout le cours avec 5 exercices corrigés niveau bac. ⏱ Lecture : 16 min ☢️ Niveau : Terminale ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Les noyaux instables et la radioactivité 1.1 — Stabilité et instabilité des noyaux Un noyau atomique est constitué de protons (charge positive \( +e \)) et de neutrons (sans charge), maintenus ensemble par la force nucléaire forte. Mais tous les noyaux ne sont pas stables : certaines combinaisons de protons et de neutrons conduisent à un état d'énergie trop élevé — le noyau est alors instable et se désintègre spontanément pour atteindre un état plus stable. On représente un noyau par la notation : \( {}^A_Z X \) où \( A \) est le nombre de masse (protons + neutrons) et \( Z \) le numéro atomique (nombre de protons). ⚖️ Stabilité nucléaire — la vallée de stabilité Les noyaux stables se regroupent dans une zone appelée vallée de stabilité sur un diagramme \( N \) (neutrons) vs \( Z \) (protons). Pour les noyaux légers (\( Z 20 \)), il faut davantage de neutrons pour compenser la répulsion coulombienne croissante des protons : \( N > Z \). Au-delà de \( Z = 83 \) (bismuth), aucun noyau n'est stable — tous les éléments plus lourds sont radioactifs. 1.2 — Les trois types de désintégration radioactive α Désintégration alpha Émission d'un noyau d'hélium-4 \( {}^4_2\text{He} \). Le noyau fils perd 2 protons et 2 neutrons. Typique des noyaux très lourds (uranium, radium). Faible pénétration — arrêtée par une feuille de papier β Désintégration bêta Émission d'un électron \( \beta^- \) ou d'un positron \( \beta^+ \). Un neutron devient un proton (β⁻) ou inversement (β⁺). Accompagnée d'un (anti)neutrino. Pénétration moyenne — arrêtée par l'aluminium γ Rayonnement gamma Émission d'un photon très énergétique. Le noyau se désexcite sans changer de \( Z \) ni de \( A \). Souvent accompagne α ou β. Très pénétrant — atténué par le plomb ou le béton Partie 2 — Écriture des équations de désintégration 2.1 — Lois de conservation Toute équation de désintégration nucléaire doit respecter deux lois de conservation fondamentales, à vérifier systématiquement : Lois de conservation dans une réaction nucléaire \[ \text{Conservation du nombre de masse :} \quad \sum A_{\text{avant}} = \sum A_{\text{après}} \] \[ \text{Conservation du numéro atomique :} \quad \sum Z_{\text{avant}} = \sum Z_{\text{après}} \] Ces deux lois permettent de compléter n'importe quelle équation nucléaire en trouvant les nombres \( A \) et \( Z \) du noyau fils inconnu. Note : l'énergie est aussi conservée — la masse perdue est convertie en énergie cinétique des produits selon \( E = \Delta m \cdot c^2 \) (relation d'Einstein). 2.2 — Les trois équations types à maîtriser Désintégration alpha (α) \[ {}^A_Z X \longrightarrow {}^{A-4}_{Z-2} Y + {}^4_2\text{He} \] Exemple : \( {}^{238}_{92}\text{U} \longrightarrow {}^{234}_{90}\text{Th} + {}^4_2\text{He} \) Vérification : \( A : 238 = 234 + 4 \) ✓ · \( Z : 92 = 90 + 2 \) ✓ Les noyaux α sont identiques aux noyaux d'hélium-4 : très chargés (Z=2), très ionisants. Désintégration bêta moins (β⁻) \[ {}^A_Z X \longrightarrow {}^{A}_{Z+1} Y + {}^0_{-1} e^- + \bar{\nu}_e \] Exemple : \( {}^{14}_{6}\text{C} \longrightarrow {}^{14}_{7}\text{N} + {}^0_{-1} e^- + \bar{\nu}_e \) Un neutron se transforme en proton : \( n \to p + e^- + \bar{\nu}_e \) \( A \) ne change pas, \( Z \) augmente de 1. L'antineutrino \( \bar{\nu}_e \) emporte une partie de l'énergie. Désintégration bêta plus (β⁺) et rayonnement gamma (γ) \[ {}^A_Z X \longrightarrow {}^{A}_{Z-1} Y + {}^0_{+1} e^+ + \nu_e \] \[ {}^A_Z X^* \longrightarrow {}^{A}_{Z} X + \gamma \] β⁺ : un proton devient un neutron : \( p \to n + e^+ + \nu_e \) — \( Z \) diminue de 1 γ : désexcitation d'un noyau dans un état excité \( X^* \) vers son état fondamental \( X \) — ni \( A \) ni \( Z \) ne changent L'étoile \( * \) indique un état excité (énergie supplémentaire stockée dans le noyau). ²³⁸U Z=92 ⁴He α ²³⁴Th Z=90 Désintégration α ¹⁴C Z=6 e⁻ β⁻ ¹⁴N Z=7 Désintégration β⁻ X* excité γ → X fondamental Émission γ Les trois types de désintégration — α (perte de 2p + 2n), β⁻ (n → p + e⁻), γ (désexcitation sans changement de A ni Z). Les flèches indiquent les produits émis. Partie 3 — La loi de décroissance radioactive 3.1 — Une loi probabiliste et universelle La radioactivité est un phénomène aléatoire : on ne peut pas prédire quand un noyau individuel va se désintégrer. Mais sur un grand nombre de noyaux, la statistique permet d'établir une loi précise. Chaque noyau a une probabilité constante \( \lambda \) de se désintégrer par unité de temps — indépendamment de son âge et de son environnement. Loi de décroissance radioactive \[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \] \( N(t) \) — nombre de noyaux radioactifs à l'instant \( t \) \( N_0 = N(0) \) — nombre initial de noyaux radioactifs \( \lambda \) — constante radioactive (en s⁻¹) : propre à chaque isotope, invariable \( t \) — temps écoulé (en secondes ou unité choisie cohérente avec \( \lambda \)) Cette loi est une décroissance exponentielle : la radioactivité ne peut jamais complètement cesser (la courbe tend vers 0 sans jamais l'atteindre), mais devient négligeable après environ 10 demi-vies. 3.2 — La demi-vie \( T_{1/2} \) La demi-vie (ou période radioactive) \( T_{1/2} \) est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègrent. C'est la grandeur la plus pratique pour caractériser un isotope. Demi-vie et constante radioactive \[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda} \] \[ \text{Après } n \text{ demi-vies :} \quad N = \frac{N_0}{2^n} \] \( T_{1/2} \) — demi-vie (en s, min, h, an selon l'isotope) \( n \) — nombre de demi-vies écoulées : \( n = t / T_{1/2} \) Exemple : après 3 demi-vies, il reste \( N_0/2^3 = N_0/8 = 12{,}5\% \) des noyaux. t N(t)/N₀ 1 1/2 1/4 1/8 T₁/₂ 2T₁/₂ 3T₁/₂ tangente N₀ (t=0) N(t) = N₀ e⁻λt Courbe de décroissance radioactive — après chaque demi-vie, le nombre de noyaux est divisé par 2. La courbe est une exponentielle décroissante qui ne touche jamais l'axe des abscisses. IsotopeTypeDemi-vieApplication ¹⁴C (carbone-14)β⁻5 730 ansDatation archéologique (jusqu'à 50 000 ans) ²³⁸U (uranium-238)α4,47 milliards d'annéesDatation géologique, combustible nucléaire ¹³¹I (iode-131)β⁻ + γ8,02 joursMédecine nucléaire (thyroïde) ⁹⁹ᵐTc (technétium-99m)γ6 heuresImagerie médicale (scintigraphie) ²²⁶Ra (radium-226)α1 600 ansDécouvert par Marie Curie (1898) ⁶⁰Co (cobalt-60)β⁻ + γ5,27 ansRadiothérapie, stérilisation ²⁴Na (sodium-24)β⁻ + γ14,96 heuresTraceur médical, étude de circulation sanguine Partie 4 — L'Activité radioactive en Becquerels 4.1 — Définition de l'activité L'activité \( A \) d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations qui se produisent par seconde dans cet échantillon. C'est elle qui mesure concrètement le "taux d'émission" de rayonnements. Activité radioactive — définition et loi \[ A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = A_0 e^{-\lambda t} \] \( A(t) \) — activité à l'instant \( t \) (en becquerels, Bq) \( A_0 = \lambda N_0 \) — activité initiale (en Bq) \( 1 \ \text{Bq} = 1 \ \text{désintégration par seconde} \) L'activité suit la même loi que N(t) : elle décroît aussi exponentiellement. Si N est divisé par 2 après une demi-vie, l'activité aussi. Ancienne unité encore utilisée : le curie (Ci) — défini comme l'activité de 1 gramme de radium-226 : \( 1 \ \text{Ci} = 3{,}7\times10^{10} \ \text{Bq} \). ☢️ Le becquerel dans la vie quotidienne Corps humain : ~8 000 Bq (principalement ⁴⁰K, potassium naturel) Banane : ~15 Bq (⁴⁰K) Air intérieur : ~40–200 Bq/m³ de radon (²²²Rn) dans une maison ordinaire Eau de source : quelques Bq/L Centrale nucléaire en fonctionnement normal : rejets contrôlés très faibles Sol naturel : 100–1000 Bq/kg (uranium, thorium, potassium naturels) Un becquerel est une unité très petite — une activité de 1 MBq = 10⁶ Bq représente seulement 1 million de désintégrations par seconde, ce qui est courant en médecine nucléaire. 4.2 — Relation entre activité, masse et nombre d'Avogadro En pratique, on ne compte pas les noyaux directement — on mesure la masse \( m \) de l'échantillon. La relation entre masse et nombre de noyaux fait intervenir la masse molaire \( M \) et le nombre d'Avogadro \( N_A \). Activité en fonction de la masse \[ N = \frac{m \cdot N_A}{M} \quad \Rightarrow \quad A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot \frac{m \cdot N_A}{M} \] \( m \) — masse de l'isotope radioactif (en grammes) \( M \) — masse molaire (en g/mol) \( N_A = 6{,}022\times10^{23} \ \text{mol}^{-1} \) — nombre d'Avogadro \( T_{1/2} \) — demi-vie (en secondes pour obtenir A en Bq) Cette formule permet de calculer l'activité d'un échantillon dont on connaît la masse, même sans connaître le nombre de noyaux. Partie 5 — La méthode en 4 étapes pour tout exercice 1 Identifier l'isotope et ses données Relever \( T_{1/2} \) (donné ou à calculer depuis \( \lambda \)), la nature de la désintégration, et les conditions initiales \( N_0 \) ou \( A_0 \). Convertir \( T_{1/2} \) en secondes si on cherche A en Bq. 2 Calculer \( \lambda \) si nécessaire \( \lambda = \ln 2 / T_{1/2} \). Attention aux unités : si \( T_{1/2} \) est en années, \( \lambda \) sera en an⁻¹, ce qui donne \( A \) en désintégrations par an — convertir si besoin. 3 Appliquer la loi de décroissance \( N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \) ou \( A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \). Si l'énoncé donne un nombre de demi-vies \( n \), utiliser directement \( N = N_0/2^n \). 4 Trouver un temps à partir d'une fraction restante Si on cherche \( t \) tel que \( N = xN_0 \) : \( e^{-\lambda t} = x \implies t = -\ln(x)/\lambda = T_{1/2}\times\ln(1/x)/\ln 2 \). Ne pas oublier de vérifier les unités. 💡 Astuce — Méthode des demi-vies entières Si le temps demandé est un multiple entier de \( T_{1/2} \), utiliser \( N = N_0/2^n \) est bien plus rapide que la formule exponentielle. Exemple : après 4 demi-vies, il reste \( N_0/2^4 = N_0/16 \), soit 6,25%. Vérification : \( e^{-\lambda \times 4T_{1/2}} = e^{-4\ln 2} = 2^{-4} = 1/16 \) ✓ Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Type Bac 1 Équations de désintégration — compléter les noyaux Niveau 1 — Bilans nucléaires 📋 Énoncé Compléter les équations de désintégration suivantes en trouvant le noyau fils \( {}^A_Z X \) : a) \( {}^{226}_{88}\text{Ra} \longrightarrow {}^A_Z X + {}^4_2\text{He} \) (alpha) b) \( {}^{32}_{15}\text{P} \longrightarrow {}^A_Z X + {}^0_{-1} e^- + \bar{\nu}_e \) (bêta moins) c) \( {}^{22}_{11}\text{Na} \longrightarrow {}^A_Z X + {}^0_{+1} e^+ + \nu_e \) (bêta plus) d) \( {}^{60}_{27}\text{Co}^* \longrightarrow {}^A_Z X + \gamma \) (gamma) 📖 Voir le corrigé ▼ a Conservation \( A \) : \( 226 = A + 4 \implies A = 222 \) Conservation \( Z \) : \( 88 = Z + 2 \implies Z = 86 \) \( {}^{226}_{88}\text{Ra} \longrightarrow \mathbf{{}^{222}_{86}\text{Rn}} + {}^4_2\text{He} \) (Radon-222) b Conservation \( A \) : \( 32 = A + 0 \implies A = 32 \) Conservation \( Z \) : \( 15 = Z + (-1) \implies Z = 16 \) \( {}^{32}_{15}\text{P} \longrightarrow \mathbf{{}^{32}_{16}\text{S}} + e^- + \bar{\nu}_e \) (Soufre-32) c Conservation \( A \) : \( 22 = A + 0 \implies A = 22 \) Conservation \( Z \) : \( 11 = Z + 1 \implies Z = 10 \) \( {}^{22}_{11}\text{Na} \longrightarrow \mathbf{{}^{22}_{10}\text{Ne}} + e^+ + \nu_e \) (Néon-22) d Le rayonnement γ n'emporte ni proton ni neutron : \( A = 60, Z = 27 \) restent inchangés. \( {}^{60}_{27}\text{Co}^* \longrightarrow \mathbf{{}^{60}_{27}\text{Co}} + \gamma \) Résultats a) ²²²₈₆Rn — b) ³²₁₆S — c) ²²₁₀Ne — d) ⁶⁰₂₇Co 2 Calcul direct — demi-vie et fraction restante Niveau 1 — Formule N/2ⁿ 📋 Énoncé Le technétium-99m (\( {}^{99\text{m}}\text{Tc} \)) est utilisé en médecine nucléaire. Sa demi-vie est \( T_{1/2} = 6{,}0 \ \text{h} \). Une seringue contient initialement une activité \( A_0 = 800 \ \text{MBq} \). 1. Calculer \( \lambda \) en h⁻¹ puis en s⁻¹. 2. Quelle activité reste-t-il après 18 h ? (utiliser la méthode des demi-vies) 3. Quelle activité après 24 h ? (utiliser la formule exponentielle) 4. Au bout de combien de temps l'activité est-elle inférieure à 1% de \( A_0 \) ? Données T₁/₂ = 6,0 h | A₀ = 800 MBq 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} = \dfrac{0{,}6931}{6{,}0} \approx \mathbf{0{,}1155 \ \text{h}^{-1}} \) \( \lambda = 0{,}1155 / 3600 \approx \mathbf{3{,}21\times10^{-5} \ \text{s}^{-1}} \) 2 18 h = 3 demi-vies (\( n = 18/6 = 3 \)) \( A(18\,\text{h}) = A_0 / 2^3 = 800 / 8 = \mathbf{100 \ \text{MBq}} \) 3 \( A(24\,\text{h}) = 800 \times e^{-0{,}1155 \times 24} = 800 \times e^{-2{,}773} \) \( = 800 \times 0{,}0625 = \mathbf{50 \ \text{MBq}} \) (note : 24 h = 4 T₁/₂, donc aussi \( A = 800/2^4 = 50 \) MBq ✓) 4 \( A \dfrac{-\ln(0{,}01)}{\lambda} = \dfrac{\ln(100)}{0{,}1155} = \dfrac{4{,}605}{0{,}1155} \approx \mathbf{39{,}9 \ \text{h}} \) Soit environ 6,6 T₁/₂ ≈ 40 heures — moins de 2 jours. Résultats \( \lambda \approx 3{,}21\times10^{-5} \ \text{s}^{-1} \quad A(18\text{h}) = 100 \ \text{MBq} \quad A(24\text{h}) = 50 \ \text{MBq} \quad t_{1\%} \approx 40 \ \text{h} \) 3 Activité et masse — calcul via Avogadro Niveau 2 — Activité et masse 📋 Énoncé On dispose d'un échantillon de radium-226 (\( {}^{226}_{88}\text{Ra} \)) de masse \( m = 1{,}00 \ \text{mg} \). La demi-vie du radium-226 est \( T_{1/2} = 1600 \ \text{ans} \). 1. Calculer le nombre de noyaux \( N_0 \) dans l'échantillon. 2. Calculer la constante radioactive \( \lambda \) en s⁻¹. 3. Calculer l'activité initiale \( A_0 \) en becquerels. 4. Comparer avec la définition historique du curie : \( 1 \ \text{Ci} = 3{,}7\times10^{10} \ \text{Bq} \). Données m = 1,00 mg = 10⁻³ g | M_Ra = 226 g/mol | T₁/₂ = 1 600 ans | N_A = 6,022×10²³ mol⁻¹ | 1 an = 3,156×10⁷ s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( N_0 = \dfrac{m \cdot N_A}{M} = \dfrac{10^{-3} \times 6{,}022\times10^{23}}{226} \approx \mathbf{2{,}665\times10^{18} \ \text{noyaux}} \) 2 \( T_{1/2} = 1600 \times 3{,}156\times10^7 = 5{,}05\times10^{10} \ \text{s} \) \( \lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} = \dfrac{0{,}6931}{5{,}05\times10^{10}} \approx \mathbf{1{,}37\times10^{-11} \ \text{s}^{-1}} \) 3 \( A_0 = \lambda N_0 = 1{,}37\times10^{-11} \times 2{,}665\times10^{18} \approx \mathbf{3{,}65\times10^7 \ \text{Bq} = 36{,}5 \ \text{MBq}} \) 4 Pour 1 g de Ra : \( A = 3{,}65\times10^7 \times 10^3 = 3{,}65\times10^{10} \ \text{Bq} \approx 3{,}7\times10^{10} \ \text{Bq} = 1 \ \text{Ci} \) C'est exactement la définition du curie ✓ — le curie fut défini comme l'activité d'1 gramme de radium-226, découvert par Marie Curie. Résultats \( N_0 \approx 2{,}67\times10^{18} \quad \lambda \approx 1{,}37\times10^{-11} \ \text{s}^{-1} \quad A_0 \approx 36{,}5 \ \text{MBq} \approx 1 \ \text{mCi} \) 1 gramme de radium a une activité de ~37 GBq = 1 Ci — une activité considérable pour si peu de matière (une masse à peine visible à l'œil nu). 4 Datation au carbone-14 — fossile préhistorique Niveau 3 — Datation ¹⁴C 📋 Énoncé Un fragment d'os fossilisé présente une activité de \( A = 6{,}2 \ \text{désintégrations/min/g} \). L'activité de référence pour un organisme vivant contemporain est \( A_0 = 13{,}6 \ \text{désintégrations/min/g} \). La demi-vie du carbone-14 est \( T_{1/2} = 5730 \ \text{ans} \). 1. Calculer \( \lambda \) en an⁻¹. 2. Exprimer \( t \) en fonction de \( A \), \( A_0 \) et \( \lambda \). 3. Calculer l'âge de l'os. 4. À quelle période préhistorique cela correspond-il ? Données A = 6,2 dés/min/g | A₀ = 13,6 dés/min/g | T₁/₂ = 5 730 ans 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \lambda = \dfrac{\ln 2}{5730} \approx \mathbf{1{,}21\times10^{-4} \ \text{an}^{-1}} \) 2 \( A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \implies \dfrac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} \) \( \ln\left(\dfrac{A}{A_0}\right) = -\lambda t \implies \mathbf{t = -\dfrac{1}{\lambda}\ln\left(\dfrac{A}{A_0}\right) = \dfrac{1}{\lambda}\ln\left(\dfrac{A_0}{A}\right)} \) 3 \( t = \dfrac{1}{1{,}21\times10^{-4}} \times \ln\left(\dfrac{13{,}6}{6{,}2}\right) = 8264 \times \ln(2{,}194) \) \( = 8264 \times 0{,}786 \approx \mathbf{6\,495 \ \text{ans}} \approx 6\,500 \ \text{ans} \) 4 6 500 ans av. J.-C. environ 4 500 av. J.-C. — c'est le Néolithique tardif (âge de la pierre polie, début de l'agriculture, premières civilisations en Mésopotamie et en Égypte). En Europe, c'est la période des premiers villages sédentaires et des mégalithes. Résultats \( \lambda \approx 1{,}21\times10^{-4} \ \text{an}^{-1} \quad t \approx 6\,500 \ \text{ans} \) — Néolithique tardif 5 Chaîne de désintégration de l'uranium — Type Bac Type Bac — Complet 📋 Énoncé Type Bac L'uranium-238 se désintègre en une longue chaîne de désintégrations successives pour aboutir au plomb-206, stable. Les deux premières étapes sont : Étape 1 : \( {}^{238}_{92}\text{U} \longrightarrow {}^A_Z X_1 + \alpha \) · \( T_1 = 4{,}47 \times 10^9 \ \text{ans} \) Étape 2 : \( {}^A_Z X_1 \longrightarrow {}^{234}_{91}\text{Pa} + \beta^- + \bar{\nu}_e \) · \( T_2 = 24{,}1 \ \text{jours} \) On dispose d'un échantillon de \( m = 1{,}00 \ \text{kg} \) d'uranium-238 pur. \( N_A = 6{,}022\times10^{23} \ \text{mol}^{-1} \), \( M_U = 238 \ \text{g/mol} \). 1. Compléter les deux équations nucléaires (trouver \( X_1 \)). 2. Calculer le nombre de noyaux d'uranium \( N_0 \). 3. Calculer l'activité initiale \( A_0 \) de l'uranium en GBq. 4. Quelle fraction de l'uranium-238 reste-t-il après \( t = 10^9 \ \text{ans} \) ? 5. Pourquoi l'activité de l'étape 2 est-elle toujours égale à celle de l'étape 1 en régime permanent ? Quel nom donne-t-on à cet état ? Données m = 1,00 kg = 1000 g | M_U = 238 g/mol | T₁ = 4,47×10⁹ ans = 1,411×10¹⁷ s | N_A = 6,022×10²³ mol⁻¹ 📖 Voir le corrigé type bac ▼ 1 Étape 1 (alpha) : \( A : 238 = A + 4 \implies A = 234 \) \( Z : 92 = Z + 2 \implies Z = 90 \) \( X_1 = {}^{234}_{90}\textbf{Th} \) (thorium-234) Étape 2 (bêta moins) : vérification \( {}^{234}_{90}\text{Th} \longrightarrow {}^{234}_{91}\text{Pa} + e^- + \bar{\nu}_e \) \( A : 234 = 234 + 0 \) ✓ · \( Z : 90 = 91 - 1 \) ✓ 2 \( N_0 = \dfrac{m \times N_A}{M_U} = \dfrac{1000 \times 6{,}022\times10^{23}}{238} \approx \mathbf{2{,}530\times10^{24} \ \text{noyaux}} \) 3 \( \lambda_1 = \dfrac{\ln 2}{1{,}411\times10^{17}} \approx 4{,}916\times10^{-18} \ \text{s}^{-1} \) \( A_0 = \lambda_1 N_0 = 4{,}916\times10^{-18} \times 2{,}530\times10^{24} \approx \mathbf{1{,}244\times10^7 \ \text{Bq} \approx 12{,}4 \ \text{MBq}} \) 4 \( \dfrac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda_1 t} \) \( \lambda_1 t = 4{,}916\times10^{-18} \times 10^9 \times 3{,}156\times10^7 = 4{,}916\times10^{-18} \times 3{,}156\times10^{16} = 0{,}1551 \) \( \dfrac{N}{N_0} = e^{-0{,}1551} \approx \mathbf{0{,}856} = 85{,}6\% \) Après 1 milliard d'années, il reste encore 85,6% de l'uranium-238 initial — sa demi-vie immense le rend quasi-permanent à l'échelle humaine. 5 En régime permanent, pour que le thorium-234 ne s'accumule pas (sa quantité reste constante), le taux de production (= désintégration de U) doit égaler son taux de disparition (= désintégration de Th en Pa). Donc \( A_{\text{Th}} = A_{\text{U}} \) : toutes les activités de la chaîne sont égales. Cet état s'appelle l'équilibre séculaire — atteint après environ 10 fois la plus longue demi-vie des isotopes fils (ici ~240 jours pour le Th-234). Résultats Type Bac \( X_1 = {}^{234}_{90}\text{Th} \quad N_0 \approx 2{,}53\times10^{24} \quad A_0 \approx 12{,}4 \ \text{MBq} \quad N/N_0 \approx 85{,}6\% \) après 10⁹ ans L'équilibre séculaire explique pourquoi, dans la nature, l'uranium et tous ses descendants radioactifs coexistent dans des roches âgées — leurs activités sont égales malgré leurs demi-vies très différentes. Les erreurs classiques à éviter ✕ Confondre \( \lambda \) et \( T_{1/2} \) : \( \lambda \) est la constante de désintégration (plus \( \lambda \) est grand, plus l'isotope se désintègre vite). \( T_{1/2} \) est la demi-vie (plus \( T_{1/2} \) est court, plus l'isotope est instable). Les deux sont liés par \( \lambda = \ln2 / T_{1/2} \) — ils varient en sens inverse. ✕ Oublier de convertir \( T_{1/2} \) en secondes pour calculer A en Bq : si \( T_{1/2} \) est en années et \( N_0 \) en noyaux, on obtient \( A = \lambda N_0 \) en désintégrations par an, pas en Bq. Il faut convertir \( T_{1/2} \) en secondes avant de calculer \( \lambda \) si on veut A en becquerels. ✕ Appliquer \( Z = Z + 1 \) pour une désintégration alpha : une désintégration α émet un noyau d'hélium-4 qui emporte 2 protons ET 2 neutrons. Le noyau fils a donc \( Z - 2 \) et \( A - 4 \). Beaucoup d'élèves oublient de soustraire 2 à \( Z \). ✕ Croire que l'activité reste constante tant que l'échantillon "existe" : l'activité suit exactement la même loi exponentielle que le nombre de noyaux — elle diminue au même rythme. Après une demi-vie, l'activité est aussi divisée par 2. ✕ Confondre "rayonnement γ" avec "un noyau fils différent" : lors d'une émission gamma, le noyau reste le même (même \( Z \), même \( A \)) — il perd seulement de l'énergie. Il n'y a pas de transformation d'un élément en un autre lors d'une désexcitation γ. Maîtriser toute la physique nucléaire ? Cours complets sur la radioactivité, la fission, la fusion et l'énergie nucléaire — tout le programme Terminale. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta maîtrise de la physique nucléaire et de ses applications. ⚛️ Force Nucléaire Forte La force qui maintient les noyaux — et explique pourquoi certains sont instables. 🌍 Datation Radiométrique Comment la désintégration radioactive permet de mesurer l'âge de la Terre à 4,54 milliards d'années. ℏ Quantification de l'Énergie Les niveaux d'énergie quantiques des noyaux — à la base de l'émission gamma. 🔬 Le Modèle Standard La désintégration β est régie par la force faible — une des quatre forces fondamentales.

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Désintégration Radioactive et Activité en Becquerels

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