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Méthode Perturbative de Laplace — Problème des Trois Corps | FreeCourse Mécanique Céleste · Mathématiques · CPGE / Licence / Master La MéthodePerturbative deLaplace — 3 Corps Le problème des trois corps n'admet pas de solution analytique exacte générale. Laplace invente une méthode de génie : traiter les interactions entre planètes comme de petites perturbations d'orbites képlériennes parfaites. Cette approche — fondatrice de toute la mécanique céleste moderne — explique les résonances orbitales, la précession du périhélie et la stabilité du système solaire. ⏱ Lecture : 22 min 🪐 Niveau : CPGE / Licence / Master ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Le problème des trois corps : pourquoi est-il si difficile ? 1.1 — Le problème à deux corps est exactement soluble Le problème à deux corps — Soleil + planète — est parfaitement soluble analytiquement. Newton (1687) démontre que la trajectoire est une ellipse (ou une conique), avec le Soleil en foyer, et que les trois lois de Kepler s'ensuivent rigoureusement. Le problème possède dix constantes du mouvement (énergie, trois composantes du moment cinétique, vecteur de Laplace-Runge-Lenz et les six intégrales initiales) — ce qui le rend complètement intégrable. Solution exacte du problème à deux corps — ellipse képlérienne \[ r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\theta} \quad \text{avec} \quad T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(M+m)} \] \( r \) — distance au foyer (Soleil) · \( a \) — demi-grand axe · \( e \) — excentricité \( T \) — période orbitale · \( M \) — masse du Soleil · \( m \) — masse de la planète Les éléments orbitaux \( (a, e, i, \Omega, \omega, M_0) \) sont constants dans ce problème — l'ellipse est parfaitement fermée et se répète identiquement à chaque révolution. 1.2 — Ajouter un troisième corps brise tout Dès qu'on ajoute une troisième masse — même très petite — les intégrales premières supplémentaires n'existent plus. Le problème perd son caractère intégrable. Henri Poincaré démontre en 1889 que le problème à trois corps n'admet pas de solution analytique générale en série convergente — c'est l'un des théorèmes les plus profonds de la physique mathématique. Équations du mouvement — problème des trois corps \[ m_i \ddot{\vec{r}}_i = G m_i \sum_{j \neq i} \frac{m_j(\vec{r}_j - \vec{r}_i)}{|\vec{r}_j - \vec{r}_i|^3} \quad (i = 1, 2, 3) \] 18 équations différentielles du second ordre (3 corps × 3 coordonnées × 2) 10 constantes du mouvement connues : énergie E, moment cinétique \( \vec{L} \), impulsion totale \( \vec{P} \), centre de masse + temps Nombre de degrés de liberté effectif : \( 18 - 10 = 8 \) — trop pour être intégrable (L'intégrabilité complète nécessiterait autant de constantes que de degrés de liberté) L'idée de Laplace : si l'une des trois masses est bien plus petite que les deux autres, on peut traiter son influence comme une petite perturbation des orbites képlériennes des deux grands corps. Partie 2 — Histoire : de Newton à Poincaré 1687 Newton — Principia Mathematica Newton résout exactement le problème à deux corps et pose les bases de la mécanique céleste. Il tente d'aborder le problème Soleil-Terre-Lune et reconnaît sa difficulté : "Ce problème dépasse mes forces." 1740–1783 Clairaut, d'Alembert, Euler — premières perturbations lunaires Clairaut calcule les perturbations de l'orbite de la Lune par le Soleil et prédit le retour de la comète de Halley en 1759 (erreur : 1 mois). Euler développe la méthode de la variation des paramètres orbitaux. 1773–1805 Laplace — Mécanique Céleste (5 volumes) Laplace systématise la méthode perturbative et démontre la stabilité séculaire du système solaire à l'ordre 1. Il développe la fonction perturbatrice et ses développements en séries de Fourier. Son œuvre colossale fonde la mécanique céleste analytique. 1788 Lagrange — Mécanique Analytique Lagrange reformule les équations du mouvement en termes de variation des éléments orbitaux, donnant naissance aux célèbres "équations de Lagrange pour les éléments orbitaux" — le cœur de toute théorie perturbative. 1889 Poincaré — L'impossibilité de la solution exacte Poincaré prouve que les séries perturbatives de Laplace-Lagrange sont généralement divergentes. Le problème à trois corps est chaotique. Il invente la topologie moderne et la théorie des systèmes dynamiques pour analyser ce chaos. 1954–1963 Kolmogorov, Arnold, Moser — Théorème KAM Le théorème KAM prouve que pour des perturbations suffisamment petites, la plupart des tores invariants (orbites quasi-périodiques) survivent. La stabilité du système solaire est rigoureusement établie pour des durées finies, sous conditions strictes. Partie 3 — Le cadre mathématique de la méthode perturbative 3.1 — Le paramètre perturbatif \( \varepsilon \) L'idée centrale est d'identifier un petit paramètre \( \varepsilon \ll 1 \) qui mesure l'amplitude de la perturbation. Dans le système solaire, c'est typiquement le rapport de masse \( \varepsilon = m_3/M_\odot \) : Planète\( \varepsilon = m/M_\odot \)Ordre de grandeur Jupiter\( 9{,}55\times10^{-4} \)~1/1 000 Saturne\( 2{,}86\times10^{-4} \)~1/3 500 Terre\( 3{,}00\times10^{-6} \)~1/300 000 Mars\( 3{,}23\times10^{-7} \)~1/3 000 000 Pour \( \varepsilon \ll 1 \), on développe toutes les grandeurs en série de puissances : Développement perturbatif — ansatz général \[ \vec{r}(t) = \vec{r}^{(0)}(t) + \varepsilon\,\vec{r}^{(1)}(t) + \varepsilon^2\,\vec{r}^{(2)}(t) + \cdots \] \[ \mathcal{E}(t) = \mathcal{E}^{(0)} + \varepsilon\,\mathcal{E}^{(1)} + \varepsilon^2\,\mathcal{E}^{(2)} + \cdots \] \( \vec{r}^{(0)}(t) \) — solution képlérienne non perturbée (ellipse exacte) \( \vec{r}^{(1)}(t) \) — correction du premier ordre due à la perturbation \( \mathcal{E} \) représente n'importe quel élément orbital \( (a, e, i, \Omega, \omega, M) \) En substituant dans les équations du mouvement et en identifiant les puissances de \( \varepsilon \), on obtient une hiérarchie d'équations linéaires — chacune résolvable analytiquement à partir de la solution de l'ordre précédent. 3.2 — La fonction perturbatrice \( \mathcal{R} \) L'outil clé de Laplace est la fonction perturbatrice \( \mathcal{R} \), qui encode l'interaction entre les deux planètes. Elle s'écrit comme la différence entre le potentiel réel et le potentiel képlérien : Fonction perturbatrice de Laplace \[ \mathcal{R} = G m_3 \left(\frac{1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_3|} - \frac{\vec{r}_2 \cdot \vec{r}_3}{r_3^3}\right) \] \( m_3 \) — masse de la planète perturbatrice (Jupiter dans l'exemple) \( \vec{r}_2 \) — position de la planète perturbée (Terre par exemple) \( \vec{r}_3 \) — position de la planète perturbatrice \( 1/|\vec{r}_2 - \vec{r}_3| \) — interaction gravitationnelle directe planète-planète \( \vec{r}_2\cdot\vec{r}_3/r_3^3 \) — terme indirect (réaction sur le Soleil) La fonction perturbatrice est développée en séries de Fourier des angles orbitaux (anomalie moyenne, longitude du nœud, argument du périhélie), ce qui permet de séparer les termes séculaires (croissant avec le temps) des termes périodiques (oscillant). M₁ (Soleil) m₂ (Terre) m₃ (Jupiter) r₂ r₃ |r₂ − r₃| ℛ = G m₃ [1/|r₂−r₃| − r₂·r₃/r₃³] Interaction directe − terme indirect (réaction sur M₁) Géométrie du problème des trois corps perturbatif — la planète perturbée (m₂) est soumise à l'attraction du Soleil (M₁) plus la perturbation de Jupiter (m₃). La fonction perturbatrice ℛ encode l'interaction directe m₂-m₃ et le terme indirect lié au déplacement du Soleil. Partie 4 — Développement de la fonction perturbatrice 4.1 — Expansion en polynômes de Legendre La clé technique est le développement de \( 1/|\vec{r}_2 - \vec{r}_3| \) en série de polynômes de Legendre. Notons \( r_ = \max(r_2, r_3) \) et \( \psi \) l'angle entre \( \vec{r}_2 \) et \( \vec{r}_3 \) : Développement en polynômes de Legendre \[ \frac{1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_3|} = \frac{1}{r_>} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{r_}\right)^n P_n(\cos\psi) \] \( P_n \) — polynômes de Legendre : \( P_0 = 1, \ P_1 = x, \ P_2 = (3x^2-1)/2, \ldots \) Le terme \( n=1 \) est annulé par le terme indirect de \( \mathcal{R} \) (propriété fondamentale) Pour \( r_2 < r_3 \) (planète intérieure) : les termes dominants sont d'ordre \( (r_2/r_3)^n \) En notant \( \alpha = a_2/a_3 \) (rapport des demi-grands axes, \( \alpha < 1 \)), la fonction perturbatrice s'exprime comme une série en \( \alpha^n \). 4.2 — Développement en séries de Fourier des angles orbitaux Les angles orbitaux — l'anomalie moyenne \( M \), la longitude du nœud ascendant \( \Omega \), l'argument du périhélie \( \omega \) — varient linéairement en temps dans l'approximation képlérienne. La fonction perturbatrice se développe en séries de Fourier de la forme : Développement de Fourier de la fonction perturbatrice \[ \mathcal{R} = \sum_{j_1,j_2,j_3,j_4,j_5,j_6} C_{j_1 j_2 j_3 j_4 j_5 j_6}(a_2, a_3, e_2, e_3, i_2, i_3)\, e^{i(j_1 M_2 + j_2 M_3 + j_3 \omega_2 + j_4 \omega_3 + j_5 \Omega_2 + j_6 \Omega_3)} \] \( C_{j_1\ldots j_6} \) — coefficients de Laplace (fonctions des éléments lents \( a, e, i \)) \( j_k \) — entiers (positifs, négatifs ou nuls) Condition de résonance : le terme est séculaire (non oscillant) quand la combinaison linéaire \( j_1 n_2 + j_2 n_3 = 0 \) où \( n = 2\pi/T \) est le mouvement moyen (rad/s). 💡 Termes séculaires vs termes périodiques Les termes de \( \mathcal{R} \) se divisent en deux catégories : Termes périodiques : oscillent avec des périodes comparables aux périodes orbitales (années). Leur contribution moyenne sur le temps est nulle. Termes séculaires : constants ou croissant lentement avec le temps — leur moyenne n'est pas nulle. Ce sont eux qui modifient progressivement les éléments orbitaux sur des échelles de millions d'années. Laplace concentre son analyse sur les termes séculaires : ils gouvernent la stabilité à long terme du système solaire. Partie 5 — Équations de Lagrange pour les éléments orbitaux 5.1 — La variation des constantes L'idée de la méthode de Lagrange est d'utiliser les éléments orbitaux képlériens \( (a, e, i, \Omega, \omega, M_0) \) comme variables canoniques, mais en les laissant varier lentement sous l'effet de la perturbation. On substitue l'ansatz : \( \vec{r}(t) = \vec{r}_{\text{Kepler}}\bigl(a(t),\, e(t),\, i(t),\, \Omega(t),\, \omega(t),\, M_0(t)\bigr) \) Les équations de mouvement donnent alors des équations différentielles pour les éléments orbitaux eux-mêmes — les équations de Lagrange planétaires : Équations planétaires de Lagrange — forme compacte \[ \frac{da}{dt} = \frac{2}{na}\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial M_0} \qquad \frac{de}{dt} = \frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2 e}\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \omega} - \frac{1-e^2}{na^2 e}\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial M_0} \] \[ \frac{di}{dt} = \frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\left(\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \Omega} - \cos i\,\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \omega}\right) \qquad \frac{d\Omega}{dt} = -\frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial i} \] \( n = \sqrt{GM/a^3} \) — mouvement moyen (rad/s), donné par la 3ème loi de Kepler \( \mathcal{R} \) — fonction perturbatrice Ces équations ont une structure hamiltonienne : \( \mathcal{R} \) joue le rôle du hamiltonien, et les éléments orbitaux sont des variables canoniques conjuguées (au signe près). Si \( \mathcal{R} \) ne dépend pas de \( M_0 \) (ce qui est vrai pour les termes séculaires), alors \( da/dt = 0 \) : le demi-grand axe est constant à cet ordre ! 5.2 — Résultat fondamental de Laplace : stabilité séculaire du demi-grand axe Théorème de stabilité séculaire de Laplace (1773) \[ \left\langle \frac{da}{dt} \right\rangle_t = 0 \quad \text{à tous les ordres en } e,\, i \] \[ \text{Conservation : } \sum_j m_j \sqrt{a_j} = \text{constante} \quad \text{(à l'ordre 1)} \] Le demi-grand axe moyen \( a \) est conservé à l'ordre 1 de la théorie perturbative. Cela implique que le système solaire ne peut pas s'effondrer progressivement — les planètes ne spiralent ni vers le Soleil ni vers l'extérieur, à cet ordre d'approximation. Nuance importante : Poincaré montrera que ce résultat ne tient qu'à l'ordre fini — les termes d'ordre supérieur peuvent produire un comportement chaotique sur des temps très longs. F (Soleil) a (stable) Ω (précesse) ω (précesse) i (oscillation) Effets séculaires des perturbations a : stable · e et i : oscillent · ω et Ω : précessent lentement Les éléments orbitaux sous perturbations séculaires — le demi-grand axe a est conservé à l'ordre 1. L'excentricité e et l'inclinaison i oscillent autour de valeurs moyennes. La longitude du nœud Ω et l'argument du périhélie ω précessent continuellement — c'est la précession des périhélies. Partie 6 — Résonances orbitales et précession du périhélie 6.1 — Les résonances de commensurabilité Un terme de la fonction perturbatrice est dit en résonance quand sa fréquence propre est proche de zéro — c'est-à-dire quand les périodes orbitales sont dans un rapport simple : Condition de résonance orbitale \[ j_1 n_1 + j_2 n_2 \approx 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{T_2}{T_1} = \frac{n_1}{n_2} \approx \frac{p}{q} \] \( n_1, n_2 \) — mouvements moyens (rad/s) des deux planètes \( p, q \) — entiers premiers entre eux Exemples dans le système solaire : Résonance de Laplace (Io-Europe-Ganymède) : \( n_{\text{Io}} : n_{\text{Eur}} : n_{\text{Gan}} = 4:2:1 \) — la plus célèbre Résonance Neptune-Pluton : \( T_P/T_N \approx 3/2 \) (Pluton complète 2 orbites pendant 3 orbites de Neptune) Lacunes de Kirkwood : les astéroïdes évitent les résonances 1:3, 1:4, 2:5 avec Jupiter Anneaux de Saturne : les lacunes (Division de Cassini) sont des résonances 2:1 et 3:1 avec Mimas. 6.2 — La précession du périhélie de Mercure L'application la plus célèbre de la théorie perturbative est la précession du périhélie de Mercure. La théorie de Laplace-Lagrange prédit une précession de \( 5557'' \) par siècle, due aux perturbations des autres planètes. La valeur observée est \( 5600'' \) par siècle. Il reste un écart inexpliqué de 43'' par siècle — une anomalie criante que la mécanique newtonienne ne peut pas expliquer, même avec les perturbations au complet. C'est Einstein qui résout le problème en 1915 avec la relativité générale : la courbure de l'espace-temps autour du Soleil produit une précession supplémentaire de 43''. Précession relativiste du périhélie de Mercure \[ \dot{\omega}_{\text{RG}} = \frac{3G M_\odot}{c^2 a(1-e^2)} \cdot \frac{n}{1} = \frac{6\pi G M_\odot}{c^2 a(1-e^2) T} \] \( a = 5{,}79\times10^{10} \ \text{m} \) — demi-grand axe de Mercure \( e = 0{,}206 \) — excentricité de Mercure \( T = 87{,}97 \ \text{jours} \) — période orbitale de Mercure Résultat : \( \dot{\omega}_{\text{RG}} \approx 43{,}0'' \ \text{par siècle} \) — accord parfait avec l'observation C'est la première preuve quantitative de la relativité générale, et le premier cas où la théorie de Laplace-Lagrange révèle ses propres limites en indiquant une physique nouvelle. ⚠️ Les limites de la méthode perturbative — le chaos de Poincaré Poincaré (1889) démontre que les séries perturbatives de Laplace divergent génériquement. Les termes d'ordre supérieur contiennent des petits diviseurs \( 1/(j_1 n_1 + j_2 n_2) \) qui peuvent devenir arbitrairement petits (le théorème de Dirichlet garantit des approximations rationnelles arbitrairement bonnes pour tout irrationnel). Des simulations numériques modernes (Laskar, 1989–2009) montrent que le système solaire est chaotique sur des échelles de ~5 millions d'années : les positions des planètes sont imprévisibles au-delà de ~50 millions d'années. Il existe même une probabilité non nulle (~1%) que Mercure soit éjecté ou entre en collision avec Vénus dans les 5 prochains milliards d'années. Partie 7 — La méthode perturbative en pratique : les 5 étapes 1 Identifier le système keplérien non perturbé Écrire la solution képlérienne exacte \( \vec{r}^{(0)}(t) \) : ellipse de paramètres \( (a_0, e_0, i_0, \Omega_0, \omega_0, M_0) \) constants. C'est la solution d'ordre zéro. 2 Construire la fonction perturbatrice \( \mathcal{R} \) Écrire l'énergie potentielle d'interaction perturbatrice, développer en polynômes de Legendre puis en séries de Fourier des angles orbitaux \( (M, \omega, \Omega) \). 3 Appliquer les équations de Lagrange Calculer les dérivées partielles \( \partial\mathcal{R}/\partial a, \, \partial\mathcal{R}/\partial e, \ldots \) et substituer dans les équations planétaires de Lagrange pour obtenir \( \dot{a}, \dot{e}, \dot{i}, \dot{\Omega}, \dot{\omega} \). 4 Séparer termes séculaires et périodiques Moyenner les équations sur les angles rapides (anomalies moyennes \( M_1, M_2 \)) pour ne garder que les termes séculaires qui gouvernent l'évolution à long terme des éléments orbitaux. 5 Intégrer et vérifier la convergence Résoudre le système différentiel pour les éléments orbitaux moyens. Vérifier que la solution perturbative converge (paramètre \( \varepsilon \ll 1 \)) et qu'il n'y a pas de résonance (petits diviseurs). Si résonance : traitement spécial requis. Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Avancé 1 Validité de l'approximation perturbative — paramètre ε Niveau 1 — Ordres de grandeur 📋 Énoncé On considère le système Soleil-Jupiter-Terre. La méthode perturbative est valable si l'énergie de perturbation est très inférieure à l'énergie képlérienne principale. 1. Estimer le paramètre perturbatif \( \varepsilon = Gm_J/(r_{TJ}^{\min}\,n_T^2 a_T^3) \) où \( r_{TJ}^{\min} \approx a_J - a_T \) est la distance minimale Terre-Jupiter. 2. Comparer l'accélération gravitationnelle produite sur la Terre par Jupiter avec celle du Soleil à la distance de la Terre. 3. Estimer à quel ordre \( n \) la perturbation d'ordre \( n \) devient négligeable (critère : correction \( < 1 \) km). 4. Pourquoi la méthode perturbative s'effondre-t-elle si deux planètes sont en résonance exacte ? Données m_J = 1,898×10²⁷ kg | M_☉ = 2×10³⁰ kg | a_T = 1,496×10¹¹ m = 1 UA | a_J = 7,783×10¹¹ m = 5,2 UA | G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²/kg² 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Le paramètre perturbatif naturel est le rapport de masse : \( \varepsilon = m_J/M_\odot = 1{,}898\times10^{27}/(2\times10^{30}) \approx \mathbf{9{,}5\times10^{-4}} \) Soit environ 1/1 050 — petit mais pas négligeable. 2 Accélération due au Soleil sur la Terre : \( g_\odot = GM_\odot/a_T^2 = 6{,}674\times10^{-11}\times2\times10^{30}/(1{,}496\times10^{11})^2 \approx 5{,}95\times10^{-3} \ \text{m/s}^2 \) Distance minimale Terre-Jupiter : \( r_{TJ} = a_J - a_T = (5{,}2-1)\times1{,}496\times10^{11} \approx 6{,}28\times10^{11} \ \text{m} \) Accélération due à Jupiter : \( g_J = Gm_J/r_{TJ}^2 = 6{,}674\times10^{-11}\times1{,}898\times10^{27}/(6{,}28\times10^{11})^2 \approx 3{,}21\times10^{-7} \ \text{m/s}^2 \) Rapport : \( g_J/g_\odot \approx 3{,}21\times10^{-7}/5{,}95\times10^{-3} \approx \mathbf{5{,}4\times10^{-5}} \) Jupiter perturbe la Terre 20 000 fois moins que le Soleil. 3 La correction d'ordre \( n \) sur la position est \( \sim \varepsilon^n \times a_T \). On veut \( \varepsilon^n \times a_T 2{,}74 \) Donc l'ordre 3 suffit pour une précision kilométrique dans l'approximation Jupiter-Terre. 4 En résonance exacte \( j_1 n_1 + j_2 n_2 = 0 \), un terme de la série perturbatrice a une fréquence exactement nulle. Son intégration en temps donne un terme proportionnel à t (terme séculaire résonnant). Même si le coefficient est petit, ce terme croît sans limite — la perturbation n'est plus petite après un temps suffisamment long. Le développement perturbatif perd toute signification : on parle alors de "petits diviseurs" et de divergence des séries. Résultats \( \varepsilon \approx 9{,}5\times10^{-4} \) — \( g_J/g_\odot \approx 5{,}4\times10^{-5} \) — Ordre 3 suffit à 1 km près Résonance → petits diviseurs → divergence des séries perturbatives 2 Développement en polynômes de Legendre — calcul explicite Niveau 2 — Technique perturbative 📋 Énoncé Deux planètes tournent dans le même plan, avec \( r_2 < r_3 \) (planète 2 intérieure). L'angle entre leurs positions est \( \psi \). On pose \( \alpha = r_2/r_3 < 1 \). 1. Développer \( 1/|\vec{r}_2 - \vec{r}_3| \) jusqu'au terme \( P_3(\cos\psi) \) inclus. 2. Écrire la fonction perturbatrice \( \mathcal{R} \) et montrer que le terme \( P_1 \) disparaît. 3. Pour \( \alpha = 0{,}19 \) (rapport \( a_{\text{Terre}}/a_{\text{Jupiter}} \approx 1/5{,}2 \)), calculer le rapport entre le terme \( P_3 \) et le terme \( P_2 \). L'approximation à l'ordre \( P_2 \) est-elle suffisante ? 4. Calculer \( \mathcal{R}/Gm_3 \) pour \( \psi = 0 \) (conjonction) à l'ordre \( P_3 \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \dfrac{1}{|\vec{r}_2 - \vec{r}_3|} = \dfrac{1}{r_3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{r_2}{r_3}\right)^n P_n(\cos\psi) = \dfrac{1}{r_3}\left[1 + \alpha\cos\psi + \alpha^2 P_2(\cos\psi) + \alpha^3 P_3(\cos\psi) + \ldots\right] \) avec \( P_2(x) = (3x^2-1)/2 \) et \( P_3(x) = (5x^3-3x)/2 \) 2 Le terme indirect de \( \mathcal{R} \) vaut : \( -\dfrac{Gm_3\,\vec{r}_2\cdot\vec{r}_3}{r_3^3} = -\dfrac{Gm_3 r_2\cos\psi}{r_3^2} = -\dfrac{Gm_3}{r_3}\cdot\alpha\cos\psi \) Il annule exactement le terme \( n=1 \) de l'expansion directe ! La fonction perturbatrice commence donc à \( P_2 \) : \( \mathcal{R} = \dfrac{Gm_3}{r_3}\left[\alpha^2 P_2(\cos\psi) + \alpha^3 P_3(\cos\psi) + \ldots\right] \) 3 Rapport \( P_3/P_2 \) : les termes ont respectivement des coefficients \( \alpha^3 \) et \( \alpha^2 \). Rapport ≈ \( \alpha \cdot |P_3(\cos\psi)/P_2(\cos\psi)| \sim \alpha \approx 0{,}19 \) La correction \( P_3 \) est de l'ordre de 19% de \( P_2 \) — non négligeable pour une précision meilleure que 20%. Pour des calculs grossiers (ε × 20% ≈ 2×10⁻⁴), c'est acceptable. 4 Pour \( \psi = 0 \) : \( P_2(1) = 1 \), \( P_3(1) = 1 \) \( \mathcal{R}/Gm_3 = \dfrac{1}{r_3}\left[\alpha^2 + \alpha^3\right] = \dfrac{\alpha^2(1+\alpha)}{r_3} \) \( = \dfrac{(0{,}19)^2 \times 1{,}19}{r_3} = \dfrac{0{,}04294}{r_3} \) C'est le maximum de la perturbation (conjonction = passage le plus proche). Par comparaison, le terme \( GM_\odot/r_3^2 \) dominerait d'un facteur \( M_\odot/(m_3\alpha^2) \gg 1 \). Résultats \( \mathcal{R} = \dfrac{Gm_3}{r_3}[\alpha^2 P_2 + \alpha^3 P_3 + \ldots] \) — terme P₁ disparaît — correction P₃ : ~19% de P₂ 3 Résonance de Laplace Io-Europe-Ganymède Niveau 2 — Résonance orbitale 📋 Énoncé Les trois lunes galiléennes de Jupiter forment la résonance de Laplace : \( n_{\text{Io}} - 3n_{\text{Eur}} + 2n_{\text{Gan}} = 0 \) (exactement). Leurs périodes sont \( T_{\text{Io}} = 1{,}769 \) j, \( T_{\text{Eur}} = 3{,}551 \) j, \( T_{\text{Gan}} = 7{,}155 \) j. 1. Vérifier numériquement la relation de résonance. 2. Calculer le rapport \( T_{\text{Eur}}/T_{\text{Io}} \) et \( T_{\text{Gan}}/T_{\text{Eur}} \). À quel rapport simple correspondent-ils ? 3. Par la 3ème loi de Kepler, calculer les demi-grands axes de Io, Europe et Ganymède, sachant que \( a_{\text{Io}} = 421\,800 \ \text{km} \). Vérifier \( a^3 \propto T^2 \). 4. La résonance de Laplace maintient Io en forte excentricité orbitale (\( e \approx 0{,}004 \)). Cela provoque des marées. Estimer l'ordre de grandeur de la force de marée exercée par Jupiter sur Io (\( m_{\text{Io}} = 8{,}93\times10^{22} \ \text{kg} \), rayon \( R_{\text{Io}} = 1\,821 \ \text{km} \)). Données M_J = 1,898×10²⁷ kg | G = 6,674×10⁻¹¹ SI | a_Io = 4,218×10⁸ m 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( n = 2\pi/T \) en rad/jour : \( n_{\text{Io}} = 2\pi/1{,}769 = 3{,}552 \ \text{rad/j} \) \( n_{\text{Eur}} = 2\pi/3{,}551 = 1{,}769 \ \text{rad/j} \) \( n_{\text{Gan}} = 2\pi/7{,}155 = 0{,}8782 \ \text{rad/j} \) \( n_I - 3n_E + 2n_G = 3{,}552 - 3\times1{,}769 + 2\times0{,}8782 \) \( = 3{,}552 - 5{,}307 + 1{,}756 = +0{,}001 \approx 0 \) ✓ (précision numérique des données) 2 \( T_E/T_I = 3{,}551/1{,}769 \approx 2{,}007 \approx \mathbf{2:1} \) \( T_G/T_E = 7{,}155/3{,}551 \approx 2{,}015 \approx \mathbf{2:1} \) Io et Europe sont en résonance 2:1, Europe et Ganymède aussi en 2:1 — d'où la résonance de Laplace globale 4:2:1. 3 \( a^3 = \dfrac{GM_J}{4\pi^2}T^2 \) donc \( a \propto T^{2/3} \) \( a_E = a_I\left(\dfrac{T_E}{T_I}\right)^{2/3} = 421\,800\times(2{,}007)^{2/3} \approx 421\,800\times1{,}588 \approx \mathbf{669\,700 \ \text{km}} \) (valeur réelle : 671 100 km ✓) \( a_G = 421\,800\times(7{,}155/1{,}769)^{2/3} \approx 421\,800\times(4{,}044)^{2/3} \approx 421\,800\times2{,}526 \approx \mathbf{1\,065\,000 \ \text{km}} \) (valeur réelle : 1 070 400 km ✓) 4 Force de marée = différence d'attraction entre le centre et la surface de Io : \( F_{\text{marée}} \sim \dfrac{2GM_J m_{\text{Io}} R_{\text{Io}}}{a_{\text{Io}}^3} \) \( = \dfrac{2\times6{,}674\times10^{-11}\times1{,}898\times10^{27}\times8{,}93\times10^{22}\times1{,}821\times10^6}{(4{,}218\times10^8)^3} \) \( \approx \dfrac{2\times6{,}674\times10^{-11}\times1{,}70\times10^{50}\times1{,}821\times10^6}{7{,}50\times10^{25}} \) \( \approx \dfrac{4{,}12\times10^{40}}{7{,}50\times10^{25}} \approx \mathbf{5{,}5\times10^{14} \ \text{N}} \) C'est cette force de marée qui chauffe Io par friction interne et alimente ses volcans — Io est le corps le plus volcaniquement actif du système solaire. Résultats Résonance vérifiée — rapports 2:1 confirmés — \( a_E \approx 670 \ \text{Mm} \), \( a_G \approx 1065 \ \text{Mm} \) — \( F_{\text{marée}} \approx 5{,}5\times10^{14} \ \text{N} \) 4 Précession du périhélie — comparaison Newton vs Einstein Niveau 3 — Précession et RG 📋 Énoncé La précession du périhélie de Mercure vaut 5 600'' (secondes d'arc) par siècle en tout. La théorie perturbative de Newton (contributions de toutes les planètes) prédit 5 557''/siècle. 1. Calculer la précession relativiste résiduelle observée (en ''/siècle et en rad/siècle). 2. Vérifier avec la formule de la relativité générale : \( \dot{\omega}_{\text{RG}} = 6\pi GM_\odot/(c^2 a(1-e^2)T) \). 3. Calculer la précession de Venus (a=0,723 UA, e=0,007, T=224,7 j) par la RG. Comparer à Mercure. 4. Combien de temps faut-il pour que le périhélie de Mercure complète une révolution complète (360°) de précession ? Données Mercure a_Merc = 5,791×10¹⁰ m = 0,387 UA | e_Merc = 0,206 | T_Merc = 87,97 j = 7,600×10⁶ s | GM_☉ = 1,327×10²⁰ m³/s² | c = 3×10⁸ m/s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Résidu : \( 5600 - 5557 = \mathbf{43'' \ \text{/siècle}} \) En rad/siècle : \( 43 \times \dfrac{\pi}{180\times3600} \approx 43 \times 4{,}848\times10^{-6} \approx \mathbf{2{,}08\times10^{-4} \ \text{rad/siècle}} \) 2 \( \dot{\omega}_{\text{RG}} = \dfrac{6\pi GM_\odot}{c^2 a(1-e^2)T} \) \( = \dfrac{6\pi\times1{,}327\times10^{20}}{(3\times10^8)^2\times5{,}791\times10^{10}\times(1-0{,}206^2)\times7{,}600\times10^6} \) \( = \dfrac{6\pi\times1{,}327\times10^{20}}{9\times10^{16}\times5{,}791\times10^{10}\times0{,}9576\times7{,}600\times10^6} \) \( = \dfrac{2{,}503\times10^{21}}{3{,}797\times10^{34}} \approx 6{,}59\times10^{-14} \ \text{rad/s} \) Par siècle (\( 100\times365{,}25\times86\,400 = 3{,}156\times10^9 \ \text{s} \)) : \( 6{,}59\times10^{-14}\times3{,}156\times10^9 \approx 2{,}08\times10^{-4} \ \text{rad/siècle} \approx \mathbf{43'' /\text{siècle}} \) ✓ 3 Pour Vénus (\( a = 1{,}082\times10^{11} \ \text{m}, e = 0{,}007, T = 1{,}941\times10^7 \ \text{s} \)) : \( \dot{\omega}_{\text{RG}}^V = \dfrac{6\pi\times1{,}327\times10^{20}}{9\times10^{16}\times1{,}082\times10^{11}\times1{,}000\times1{,}941\times10^7} \) \( \approx \dfrac{2{,}503\times10^{21}}{1{,}888\times10^{35}} \approx 1{,}33\times10^{-14} \ \text{rad/s} \) Par siècle : \( 1{,}33\times10^{-14}\times3{,}156\times10^9 \approx 4{,}2\times10^{-5} \ \text{rad} \approx \mathbf{8{,}6'' /\text{siècle}} \) Beaucoup plus faible que Mercure car Vénus a une période plus longue et une excentricité quasi nulle. 4 Précession totale = 360° = \( 2\pi \ \text{rad} \) Vitesse : 43''/siècle = \( 43/(3600\times360) \) tours/siècle Période de précession : \( 360\times3600/43 \approx \mathbf{3{,}015\times10^4 \ \text{siècles}} \approx \mathbf{3 \ \text{millions d'années}} \) Résultats Résidu RG : 43''/siècle = 2,08×10⁻⁴ rad/siècle — confirmé par la formule RG ✓ Vénus : ~8,6''/siècle — Période de précession de Mercure : ~3 millions d'années 5 Théorème KAM — conditions de stabilité perturbative Avancé — Théorème KAM et petits diviseurs 📋 Énoncé Avancé Le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM, 1954–1963) établit que la plupart des orbites quasi-périodiques survivent à une perturbation suffisamment petite, sauf au voisinage des résonances. 1. Expliquer le problème des "petits diviseurs" qui apparaît en théorie perturbative lorsque deux fréquences orbitales \( n_1, n_2 \) sont proches d'un rapport rationnel. 2. La condition diophantienne (KAM) pour qu'un tore survive est \( |j_1 n_1 + j_2 n_2| \geq \gamma/|j|^\tau \) pour tous les entiers \( j_1, j_2 \) avec \( |j| = |j_1|+|j_2| \). Interpréter physiquement cette condition. 3. Estimer la largeur de la résonance 2:1 de Jupiter (Lacune de Kirkwood) en termes de demi-grand axe : un astéroïde à \( a_{\text{rés}} = a_J/2^{2/3} \approx 3{,}28 \ \text{UA} \) est en résonance 2:1 avec Jupiter. La largeur de la lacune est \( \Delta a/a \sim \sqrt{\varepsilon} \) où \( \varepsilon = m_J/M_\odot \). Calculer \( \Delta a \). 4. Comment Laskar (1989) a-t-il montré que le système solaire est chaotique malgré le théorème KAM ? 📖 Voir le corrigé avancé ▼ 1 En théorie perturbative, les corrections aux éléments orbitaux contiennent des intégrales de termes oscillants \( e^{i(j_1 n_1 + j_2 n_2)t} \). L'intégration donne des facteurs \( 1/(j_1 n_1 + j_2 n_2) \). Si les fréquences sont proches d'un rapport rationnel, ce diviseur est très petit — même si le numérateur est petit, la correction peut être grande. Pour tout nombre irrationnel, le théorème de Dirichlet garantit des approximations rationnelles arbitrairement bonnes : il existe toujours des entiers \( j_1, j_2 \) tels que \( |j_1 n_1 + j_2 n_2| \) soit aussi petit qu'on veut. La série perturbative diverge donc en général. 2 La condition KAM \( |j_1 n_1 + j_2 n_2| \geq \gamma/|j|^\tau \) impose que les fréquences s'éloignent des rationnels suffisamment vite. Interprétation physique : les fréquences qui satisfont cette condition sont "suffisamment irrationnelles" — elles ne peuvent pas être approchées trop bien par des fractions simples. Les petits diviseurs sont bornés inférieurement par \( \gamma/|j|^\tau \), ce qui garantit la convergence de la série perturbative. Les tores KAM sont des "barrières" dans l'espace des phases qui empêchent la diffusion. 3 \( \varepsilon = m_J/M_\odot \approx 9{,}5\times10^{-4} \) \( \sqrt{\varepsilon} \approx \sqrt{9{,}5\times10^{-4}} \approx 0{,}0308 \) \( \Delta a = a_{\text{rés}} \times \sqrt{\varepsilon} = 3{,}28 \times 0{,}0308 \approx \mathbf{0{,}101 \ \text{UA} \approx 0{,}10 \ \text{UA}} \) La lacune de Kirkwood 2:1 s'étend approximativement de 3,18 à 3,38 UA — valeur cohérente avec les observations (lacune effective ~3,2 à 3,4 UA). 4 Laskar (1989) intègre numériquement les équations planétaires de Lagrange (moyennées sur les périodes orbitales courtes) sur 200 millions d'années. Il calcule les exposants de Lyapounov — mesure du taux de divergence de trajectoires voisines. Résultat : exposant de Lyapounov \( \lambda \approx 1/(5 \ \text{millions d'années}) \) pour le système solaire interne. Cela signifie que l'incertitude initiale de position est multipliée par \( e \approx 2{,}7 \) tous les 5 millions d'années. Compatibilité avec KAM : le théorème KAM garantit la stabilité pour les planètes individuelles prises deux à deux (avec des paramètres suffisamment petits). Mais le système à N planètes avec N grand est soumis à des résonances entre plusieurs couples de planètes simultanément — le chaos émerge via les "résonances séculaires" que le KAM ne protège pas. Résultats Avancés Petits diviseurs → divergence des séries — KAM : condition diophantienne protège les fréquences irrationnelles \( \Delta a_{\text{Kirkwood 2:1}} \approx 0{,}10 \ \text{UA} \) — Lyapounov : chaos à ~5 Ma pour le système solaire interne Les pièges classiques à éviter ✕ "La méthode perturbative donne la solution exacte pour ε petit" : non. Elle donne une approximation asymptotique — souvent très précise pour des durées courtes, mais génériquement divergente sur des temps longs (Poincaré, 1889). Pour ε petit et temps court, la méthode est excellente ; pour des millions de milliards d'années, même ε = 10⁻³ peut produire un comportement chaotique. ✕ "Le demi-grand axe est conservé exactement" : Laplace prouve sa conservation à l'ordre 1 des perturbations et à l'ordre 2 des masses. Aux ordres supérieurs, il peut varier — Poincaré a montré que ces corrections peuvent être substantielles sur des temps très longs. Le résultat de Laplace est une approximation, brillante mais pas exacte. ✕ "Le problème des trois corps est insoluble" : insoluble par des méthodes analytiques exactes générales, mais pas incontrôlable. La méthode perturbative de Laplace donne des résultats précis pour des durées de quelques millions d'années. Numériquement, on peut intégrer les équations avec une précision excellente sur des milliards d'années. De plus, certains cas spéciaux (problème de Hill, corps de troie de Lagrange) admettent des solutions analytiques exactes. ✕ "Confondre la fonction perturbatrice et l'énergie d'interaction totale" : la fonction perturbatrice \( \mathcal{R} \) contient un terme indirect (réaction sur le Soleil) qui soustrait la partie monopolaire de l'interaction. C'est ce terme qui annule P₁ dans le développement — sans lui, la méthode ne converge pas correctement. Maîtriser la mécanique céleste et les systèmes dynamiques ? Cours complets sur les lois de Kepler, la mécanique analytique, les équations de Hamilton et les systèmes chaotiques. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta maîtrise de la mécanique céleste et des perturbations orbitales. 🪐 Les Trois Lois de Kepler Le point de départ de toute la théorie perturbative — les orbites képlériennes non perturbées. 🛰 Mise en Orbite et Newton La mécanique keplerienne exacte que Laplace perturbait — les bases incontournables. 📡 Satellites Géostationnaires Les effets perturbatifs (aplatissement terrestre, Lune, Soleil) affectent aussi les satellites artificiels. 🌌 L'Espace-Temps La précession de Mercure révèle les limites de Laplace et annonce la relativité générale d'Einstein.

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