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Les Suites Arithmético-Géométriques : Méthode et Astuces Maths · Approfondissement Les Suites Arithmético-Géométriques Découvrez la méthode pour analyser ces suites "hybrides" qui ne sont ni arithmétiques, ni géométriques, mais qui cachent une suite géométrique bien connue. ⏱ Lecture : 7 min 📐 Niveau : Première / Terminale ✦ Astuce de la suite auxiliaire Qu'est-ce qu'une suite arithmético-géométrique ? En classe de Première, vous avez étudié deux types de suites : Arithmétique : on ajoute toujours le même nombre. \( u_{n+1} = u_n + r \) Géométrique : on multiplie toujours par le même nombre. \( u_{n+1} = q \times u_n \) Une suite arithmético-géométrique est un mélange des deux. Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie par un nombre, PUIS on ajoute un autre nombre. Définition d'une suite arithmético-géométrique \[ u_{n+1} = a \cdot u_n + b \] Où a et b sont deux nombres réels constants. Attention : cette suite n'est NI arithmétique (à cause de la multiplication par a), NI géométrique (à cause de l'addition de b). On ne peut donc pas appliquer directement les formules que l'on connaît. L'astuce : introduire une "suite auxiliaire" Puisque la suite \( (u_n) \) est complexe, l'idée est de créer une nouvelle suite, plus simple, que l'on appellera suite auxiliaire \( (v_n) \). Cette nouvelle suite sera, elle, géométrique ! La méthode consiste à "transformer" la suite \( (u_n) \) pour se ramener à un cas que l'on sait résoudre. C'est une technique de résolution de problème très courante en mathématiques. La méthode en 4 étapes pour trouver le terme général 1 Poser la suite auxiliaire \( v_n = u_n - \alpha \) L'énoncé vous guidera presque toujours en vous donnant la forme de la suite auxiliaire. On pose \( v_n = u_n - \alpha \), où \( \alpha \) est un nombre que l'on va devoir trouver. Ce nombre \( \alpha \) est appelé le point fixe de la suite. Comment trouver α ? Le point fixe \( \alpha \) est la valeur qui ne bouge pas, c'est-à-dire la solution de l'équation \( x = ax + b \). On résout donc cette petite équation pour trouver \( \alpha \). 2 Démontrer que \( (v_n) \) est géométrique C'est le cœur de la méthode. L'objectif est de prouver que \( v_{n+1} = q \cdot v_n \). Pour cela : On part de \( v_{n+1} = u_{n+1} - \alpha \). On remplace \( u_{n+1} \) par son expression \( (a \cdot u_n + b) \). On factorise par a pour faire réapparaître l'expression de \( v_n \). 3 Exprimer \( v_n \) en fonction de n Maintenant que l'on sait que \( (v_n) \) est une suite géométrique, on peut utiliser la formule que l'on connaît : \( v_n = v_0 \cdot q^n \). ⚠️ N'oubliez pas de calculer \( v_0 \) en utilisant la définition : \( v_0 = u_0 - \alpha \). 4 En déduire l'expression de \( u_n \) C'est la dernière étape ! On repart de la définition de la suite auxiliaire \( v_n = u_n - \alpha \). On isole simplement \( u_n \) pour obtenir : Expression finale de uₙ \[ u_n = v_n + \alpha \] On remplace \( v_n \) par l'expression trouvée à l'étape 3, et le problème est résolu. Exemple détaillé : Étude d'une suite arithmético-géométrique Problème : Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 5 \) et \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \). Résolution étape par étape 1. Trouver le point fixe et poser la suite auxiliaire : On résout l'équation \( x = 3x - 4 \). \( -2x = -4 \), donc \( x = 2 \). Le point fixe est \( \alpha = 2 \). On pose la suite auxiliaire : \( v_n = u_n - 2 \). 2. Démontrer que \( (v_n) \) est géométrique : \( v_{n+1} = u_{n+1} - 2 \) \( v_{n+1} = (3u_n - 4) - 2 \) \( v_{n+1} = 3u_n - 6 \) On factorise par 3 : \( v_{n+1} = 3(u_n - 2) \) On reconnaît l'expression de \( v_n \) : \( v_{n+1} = 3 \cdot v_n \) Donc, \( (v_n) \) est une suite géométrique de raison q = 3. 3. Exprimer \( v_n \) en fonction de n : On calcule d'abord \( v_0 \): \( v_0 = u_0 - 2 = 5 - 2 = 3 \). On applique la formule \( v_n = v_0 \cdot q^n \): \( v_n = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1} \). 4. En déduire l'expression de \( u_n \) : On sait que \( u_n = v_n + \alpha \). On remplace \( v_n \) et \( \alpha \) par leurs valeurs : \( u_n = 3^{n+1} + 2 \) Ceci est l'expression explicite de \( u_n \) en fonction de n. Récapitulatif de la méthode ✓ Reconnaître la forme \( u_{n+1} = au_n + b \). ✓ Introduire une suite auxiliaire \( v_n = u_n - \alpha \). ✓ Prouver que \( (v_n) \) est géométrique en montrant que \( v_{n+1} = a \cdot v_n \). ✓ Exprimer \( v_n \) en fonction de n. ✓ Isoler \( u_n \) pour trouver son expression finale. Prêt à pratiquer ? Accède au cours complet sur les suites avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours sur les suites → Pour aller plus loin Maintenant que les bases sont acquises, poursuivez avec d’autres concepts clés du programme de Première. Σ Démontrer qu'une suite est arithmétique La méthode infaillible avec le calcul de la différence uₙ₊₁ - uₙ. ✖️ Démontrer qu'une suite est géométrique La méthode rigoureuse avec le calcul du rapport uₙ₊₁ / uₙ. 🎯 Applications : problèmes d'optimisation Utiliser le sommet pour trouver une aire maximale, un profit maximal, etc. ƒ(x) Obtenir la forme développée Comment passer des formes factorisée ou canonique à la forme ax²+bx+c.