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Le Principe de Moindre Action en Physique | FreeCourse Mécanique Analytique · Physique Théorique · CPGE / Licence / Master Le Principe deMoindre Action :Le Cœur de la Physique Toute la physique — mécanique newtonienne, électromagnétisme, relativité générale, mécanique quantique — découle d'un unique principe variationnel : la nature choisit le chemin qui rend l'action stationnaire. \( \delta S = 0 \). Comprenez ce principe et vous tenez le fil directeur de toute la physique théorique. ⏱ Lecture : 22 min ⚡ Niveau : CPGE / Licence / Master ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — L'idée fondamentale : la nature est extrémale 1.1 — Un principe téléologique ? L'idée que la nature "choisit" un chemin optimal est ancienne et dérangeante. En 1662, Fermat formule son principe de moindre temps : la lumière suit entre deux points le trajet qui minimise le temps de parcours. Ce principe explique en un coup la réflexion et la réfraction — deux lois qui semblent sans rapport l'une avec l'autre. Maupertuis généralise l'idée en 1744 en introduisant l'action : la nature minimise une certaine quantité, l'action, lors de tout mouvement physique. Mais c'est Euler, Lagrange et Hamilton qui donnent à cette intuition une forme mathématique précise, puissante et universelle — ce que nous appelons aujourd'hui le principe de Hamilton ou principe de moindre action. ✨ L'idée en une phrase Parmi tous les chemins imaginables reliant deux états d'un système physique entre les instants \( t_1 \) et \( t_2 \), la nature emprunte celui pour lequel l'intégrale \( S = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt \) est stationnaire (ni maximale, ni minimale au sens strict, mais à dérivée nulle — un point col). Cette condition \( \delta S = 0 \) contient toutes les équations du mouvement. Partie 2 — Cinq siècles d'une idée 1662 Fermat — Principe de moindre temps La lumière choisit le chemin qui minimise le temps. Pierre de Fermat démontre ainsi la loi de Snell-Descartes (réfraction) à partir d'un principe unique — révolutionnaire pour l'époque. 1744–1746 Maupertuis et Euler — Principe de moindre action Maupertuis propose que la "quantité d'action" \( \int mv\,ds \) est minimisée. Euler formalise mathématiquement ce principe pour les trajectoires mécaniques. Le concept d'action (J·s) entre en physique. 1788 Lagrange — Mécanique analytique Lagrange reformule toute la mécanique en termes du lagrangien \( L = T - V \) et de coordonnées généralisées. Les équations d'Euler-Lagrange remplacent Newton. Aucun schéma dans tout l'ouvrage — seulement des équations. 1834–1835 Hamilton — Principe variationnel et mécanique hamiltonienne Hamilton énonce le principe sous sa forme moderne : \( \delta \int L\,dt = 0 \). Il dualise la mécanique en coordonnées et impulsions généralisées — le hamiltonien \( H \) naît, préfigurant la mécanique quantique de 90 ans. 1915–1918 Hilbert et Noether — Action en relativité générale et symétries Hilbert dérive les équations d'Einstein depuis un principe variationnel (action de Hilbert-Einstein). Noether prouve son théorème fondamental : toute symétrie continue d'une action implique une loi de conservation. C'est le résultat le plus profond de la physique théorique. 1942–1948 Feynman — Intégrale de chemin (path integral) En mécanique quantique, l'amplitude de probabilité est la somme \( \sum_{\text{chemins}} e^{iS/\hbar} \) sur tous les chemins possibles, pas seulement le chemin classique. La limite \( \hbar \to 0 \) redonne le principe de moindre action classique. Partie 3 — Le Lagrangien et l'action 3.1 — Définitions fondamentales Le Lagrangien et l'Action — définitions \[ L(q_i, \dot{q}_i, t) = T - V \quad \text{(mécanique classique)} \] \[ S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t)\,dt \] \( L \) — lagrangien (en joules, J) \( T \) — énergie cinétique totale \( V \) — énergie potentielle totale \( q_i \) — coordonnées généralisées (\( i = 1, \ldots, N \)) : n'importe quelles coordonnées décrivant la configuration du système \( \dot{q}_i = dq_i/dt \) — vitesses généralisées \( S \) — action (en joules·secondes, J·s — mêmes dimensions que \( \hbar \) !) \( S[q(t)] \) est une fonctionnelle : elle prend un chemin entier en entrée et retourne un scalaire. 💡 Coordonnées généralisées — la clé de la puissance Les coordonnées généralisées \( q_i \) peuvent être n'importe quoi : angles, longueurs, coordonnées cartésiennes, sphériques, elliptiques… Le lagrangien s'écrit dans n'importe quel système de coordonnées sans effort supplémentaire. Les contraintes (pendule, bille sur rail, etc.) sont automatiquement incorporées en choisissant les bonnes coordonnées — pas besoin de forces de réaction ! C'est là que réside la puissance surhumaine de la méthode de Lagrange sur Newton. Espace de configuration t q (t₁, q₁) (t₂, q₂) Chemin physique q(t) δS = 0 (action stationnaire) q(t) + δq(t) chemins virtuels δq(t₁)=0 δq(t₂)=0 δS = S[q+δq] − S[q] = 0 à l'ordre 1 en δq Le principe variationnel — parmi tous les chemins (tirets bleus) reliant les mêmes états initiaux et finals avec δq(t₁)=δq(t₂)=0, le chemin physique (or) est celui pour lequel l'action S est stationnaire. Les variations δq sont arbitraires mais nulles aux extrémités. Partie 4 — Les équations d'Euler-Lagrange 4.1 — Dérivation par le calcul des variations On cherche la condition sur \( q(t) \) pour que \( \delta S = 0 \) pour toute variation \( \delta q(t) \) s'annulant aux bornes. En développant \( S[q+\delta q] \) à l'ordre 1 en \( \delta q \) et en intégrant par parties : 1 Variation de l'action \( \delta S = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial q}\delta q + \dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\right)dt \) 2 Intégration par parties du second terme \( \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\,dt = \left[\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\delta q\,dt \) Le terme crochet est nul car \( \delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 \). 3 Lemme fondamental du calcul des variations \( \delta S = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\!\left[\dfrac{\partial L}{\partial q} - \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right]\!\delta q\,dt = 0 \) Pour que ceci soit vrai pour toute variation \( \delta q \), le crochet doit être nul en tout point. Équations d'Euler-Lagrange — le résultat central \[ \boxed{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0} \quad (i = 1, \ldots, N) \] Ces \( N \) équations différentielles du second ordre sont équivalentes aux équations de Newton — mais exprimées dans n'importe quel système de coordonnées, sans forces de contrainte. \( p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \) — impulsion généralisée conjuguée à \( q_i \) \( F_i^{\text{gén}} = \dfrac{\partial L}{\partial q_i} \) — force généralisée Forme compacte : \( \dot{p}_i = F_i^{\text{gén}} \) — analogue de \( F = ma \) mais en coordonnées généralisées. 4.2 — Équivalence avec Newton pour une particule libre Pour une particule de masse \( m \) dans un potentiel \( V(x) \) : \( L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x) \). \( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} \) (impulsion) — \( \dfrac{\partial L}{\partial x} = -\dfrac{\partial V}{\partial x} = F \) (force). L'équation d'Euler-Lagrange donne : \( \dfrac{d}{dt}(m\dot{x}) - F = 0 \implies m\ddot{x} = F \) — c'est la deuxième loi de Newton. ✓ Partie 5 — Du Lagrangien au Hamiltonien 5.1 — La transformation de Legendre Le formalisme hamiltonien est la transformation de Legendre du lagrangien : on passe des variables \( (q_i, \dot{q}_i) \) aux variables \( (q_i, p_i) \) où \( p_i = \partial L/\partial\dot{q}_i \). Le hamiltonien est défini par : Hamiltonien et équations de Hamilton \[ H(q_i, p_i, t) = \sum_i p_i\dot{q}_i - L \] \[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \] \( H \) — hamiltonien (souvent égal à l'énergie totale \( T + V \) si les contraintes sont indépendantes du temps) Les équations de Hamilton sont du premier ordre (vs second ordre pour Euler-Lagrange) L'espace de phase \( (q_i, p_i) \) est symplectique : le flot hamiltonien préserve le volume (théorème de Liouville) La correspondance Hamilton → mécanique quantique : \( \{A, B\}_{\text{Poisson}} = \sum_i\!\left(\tfrac{\partial A}{\partial q_i}\tfrac{\partial B}{\partial p_i} - \tfrac{\partial A}{\partial p_i}\tfrac{\partial B}{\partial q_i}\right) \longrightarrow \dfrac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}] \) 🔗 Lien fondamental avec la mécanique quantique La mécanique quantique de Heisenberg s'obtient en remplaçant les crochets de Poisson par des commutateurs : \( \{q_i, p_j\}_{\text{Poisson}} = \delta_{ij} \longrightarrow [\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\delta_{ij} \) L'intégrale de chemin de Feynman part de l'action elle-même : \[ \langle q_f, t_f | q_i, t_i \rangle = \mathcal{N}\int \mathcal{D}[q(t)]\,e^{iS[q]/\hbar} \] Dans la limite \( \hbar \to 0 \), la phase \( S[q]/\hbar \) oscille infiniment vite sauf autour du chemin classique où \( \delta S = 0 \) — les contributions des autres chemins s'annulent par interférence. On retrouve ainsi le principe de moindre action comme limite classique de la mécanique quantique. Partie 6 — Le théorème de Noether : symétries et lois de conservation 6.1 — L'énoncé du théorème Emmy Noether démontre en 1915 (publié 1918) le théorème le plus profond de la physique théorique : toute symétrie continue de l'action implique une loi de conservation exacte, et vice-versa. Théorème de Noether — symétrie ↔ conservation \[ \text{Si } L(q+\varepsilon\,\delta q, \dot{q}+\varepsilon\,\delta\dot{q}, t) = L(q, \dot{q}, t) + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \] \[ \text{alors} \quad \frac{d}{dt}\left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right) = 0 \] La quantité entre parenthèses est une constante du mouvement (charge de Noether). 🌟 Le dictionnaire symétrie ↔ conservation L'invariance par translation temporelle (\( L \) ne dépend pas explicitement de \( t \)) → conservation de l'énergie \( H = \text{constante} \) L'invariance par translation spatiale (\( L \) ne dépend pas de la position absolue) → conservation de l'impulsion \( \vec{p} = \text{constante} \) L'invariance par rotation (\( L \) est isotrope en espace) → conservation du moment cinétique \( \vec{L} = \text{constante} \) L'invariance de jauge (EM) → conservation de la charge électrique L'invariance de jauge de couleur (QCD) → conservation de la charge de couleur Partie 7 — La méthode pas à pas et applications 7.1 — Méthode systématique en 4 étapes 1 Choisir les coordonnées généralisées \( q_i \) Identifier les degrés de liberté du système. Prendre des coordonnées adaptées aux contraintes — les contraintes disparaissent automatiquement. Exemples : angle \( \theta \) pour un pendule, \( r \) et \( \phi \) en polaires pour un problème central. 2 Écrire \( T \) et \( V \) en fonction de \( q_i \) et \( \dot{q}_i \) Exprimer l'énergie cinétique et potentielle dans les coordonnées choisies. Attention : \( T \) peut dépendre de \( q_i \) et \( \dot{q}_i \) (sphériques, cylindriques). Former le lagrangien \( L = T - V \). 3 Calculer les dérivées partielles de \( L \) Calculer \( \partial L/\partial q_i \) et \( \partial L/\partial\dot{q}_i \) pour chaque coordonnée. Repérer les coordonnées cycliques (absentes de \( L \)) pour lesquelles \( \partial L/\partial q_i = 0 \) → impulsion \( p_i \) conservée immédiatement. 4 Écrire et résoudre les équations d'Euler-Lagrange Former les \( N \) équations \( \dot{p}_i = \partial L/\partial q_i \). Ce sont des EDP du second ordre en \( q_i(t) \). Utiliser les constantes du mouvement (énergie, moments conservés) pour simplifier. 7.2 — Applications dans tous les domaines 🌊 Optique — loi de Snell Le principe de Fermat \( \delta\int n\,ds = 0 \) donne directement \( n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \) sans avoir besoin de connaître la nature ondulatoire de la lumière. ⚡ Électromagnétisme L'action \( S = \int(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + j_\mu A^\mu)\,d^4x \) donne les équations de Maxwell complètes en une ligne. La symétrie de jauge U(1) → conservation de la charge. 🌍 Relativité générale L'action de Hilbert-Einstein \( S = \frac{c^4}{16\pi G}\int R\sqrt{-g}\,d^4x \) donne les équations d'Einstein complètes. La géodésique est le chemin minimisant l'action propre. 🔬 Mécanique quantique L'intégrale de chemin de Feynman : l'amplitude de transition est \( e^{iS/\hbar} \) sommée sur tous les chemins. Reproduit toute la MQ, generalise naturellement aux théories des champs. 🧲 Physique des particules Le modèle standard entier est défini par une densité lagrangienne \( \mathcal{L} \). Les symétries de jauge SU(3)×SU(2)×U(1) dictent toutes les interactions fondamentales. 📐 Mécanique des fluides L'équation d'Euler des fluides et l'équation de Navier-Stokes découlent d'un principe variationnel sur l'action du fluide, permettant d'incorporer naturellement les contraintes. Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Avancé 1 Pendule simple — lagrangien et équation du mouvement Niveau 1 — Application directe 📋 Énoncé Un pendule simple : masse \( m \), longueur \( \ell \), angle \( \theta \) par rapport à la verticale. Le pivot est fixe. 1. Écrire le lagrangien \( L(\theta, \dot\theta) \). 2. Appliquer l'équation d'Euler-Lagrange pour trouver l'équation du mouvement. 3. Linéariser pour les petites oscillations et trouver la pulsation propre \( \omega_0 \). 4. Identifier la constante du mouvement (hamiltonien) et montrer qu'il est égal à l'énergie mécanique. Données m = masse · ℓ = longueur · g = 9,81 m/s² · θ = coordonnée généralisée 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Position : \( x = \ell\sin\theta \), \( y = -\ell\cos\theta \) (origine au pivot) Vitesse : \( v^2 = \ell^2\dot\theta^2 \) \( T = \dfrac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 \qquad V = -mg\ell\cos\theta \) \[ \boxed{L = \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta} \] 2 \( \dfrac{\partial L}{\partial\dot\theta} = m\ell^2\dot\theta \) (impulsion angulaire) \( \dfrac{\partial L}{\partial\theta} = -mg\ell\sin\theta \) Euler-Lagrange : \( m\ell^2\ddot\theta - (-mg\ell\sin\theta) = 0 \) \[ \boxed{\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0} \] C'est exactement l'équation newtonienne (couples) sans avoir mentionné les forces de tension ! 3 Pour \( \theta \ll 1 \) : \( \sin\theta \approx \theta \) \( \ddot\theta + \dfrac{g}{\ell}\theta = 0 \implies \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{\ell}} \) Période : \( T = 2\pi\sqrt{\ell/g} \) — indépendante de la masse (Galilée, 1602). 4 \( L \) ne dépend pas explicitement de \( t \) → hamiltonien conservé : \( H = p_\theta\dot\theta - L = m\ell^2\dot\theta\cdot\dot\theta - \dfrac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta \) \[ H = \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta = T + V = E_{\text{mécanique}} \] Résultats \( L = \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta \quad \ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 \quad \omega_0 = \sqrt{g/\ell} \quad H = E_{\text{mec}} \) 2 Particule en coordonnées polaires — coordonnées cycliques Niveau 2 — Coordonnées généralisées 📋 Énoncé Une particule de masse \( m \) se déplace dans le plan sous l'influence d'un potentiel central \( V(r) \). On utilise les coordonnées polaires \( (r, \phi) \). 1. Exprimer le lagrangien \( L(r, \dot r, \phi, \dot\phi) \). 2. Identifier la coordonnée cyclique et la constante du mouvement associée. Interpréter physiquement. 3. Écrire les deux équations d'Euler-Lagrange. 4. Pour \( V(r) = -k/r \) (potentiel newtonien), montrer que l'équation radiale se réduit à celle d'un problème 1D avec potentiel effectif \( V_{\text{eff}}(r) = -k/r + L_z^2/(2mr^2) \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( T = \dfrac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2\dot\phi^2) \) \[ L = \frac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2\dot\phi^2) - V(r) \] 2 \( \phi \) n'apparaît pas dans \( L \) : c'est une coordonnée cyclique. \( p_\phi = \dfrac{\partial L}{\partial\dot\phi} = mr^2\dot\phi = L_z = \text{constante} \) C'est le moment cinétique (2ème loi de Kepler !) — conservé par l'invariance de rotation (Noether). 3 Équation pour \( r \) : \( \dfrac{d}{dt}(m\dot r) - mr\dot\phi^2 + \dfrac{\partial V}{\partial r} = 0 \implies m\ddot r - mr\dot\phi^2 = -V'(r) \) Équation pour \( \phi \) : \( \dfrac{d}{dt}(mr^2\dot\phi) = 0 \implies mr^2\dot\phi = L_z = \text{cst} \) 4 On substitue \( \dot\phi = L_z/(mr^2) \) dans l'équation de \( r \) : \( m\ddot r = -\dfrac{\partial V}{\partial r} + mr\dot\phi^2 = -\dfrac{\partial V}{\partial r} + \dfrac{L_z^2}{mr^3} \) \( = -\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(V(r) - \dfrac{L_z^2}{2mr^2}\right) = -\dfrac{\partial V_{\text{eff}}}{\partial r} \) avec \( V_{\text{eff}}(r) = -\dfrac{k}{r} + \dfrac{L_z^2}{2mr^2} \) Le terme centrifuge \( L_z^2/(2mr^2) \) agit comme un potentiel répulsif — il empêche la chute sur le centre. Résultats \( L_z = mr^2\dot\phi = \text{cste} \) (moment cinétique) — \( V_{\text{eff}}(r) = -k/r + L_z^2/(2mr^2) \) La puissance de Lagrange : en choisissant des coordonnées adaptées, la conservation du moment cinétique apparaît instantanément sans calcul de vecteurs, et le problème se réduit à une dimension. 3 Théorème de Noether — trois applications concrètes Niveau 2 — Symétries et conservation 📋 Énoncé Appliquer le théorème de Noether aux trois symétries continues fondamentales. A. Invariance par translation temporelle : le lagrangien d'un système isolé est \( L(q_i, \dot q_i) \) sans dépendance explicite en \( t \). Montrer que \( H = \sum_i p_i\dot q_i - L \) est conservé. B. Invariance par translation spatiale : \( L \) d'un système à deux particules ne dépend que de \( \vec r_1 - \vec r_2 \). Montrer que l'impulsion totale \( \vec P = m_1\dot{\vec r}_1 + m_2\dot{\vec r}_2 \) est conservée. C. Invariance par rotation d'angle \( \varepsilon \) autour de l'axe \( z \) : \( x \to x - \varepsilon y \), \( y \to y + \varepsilon x \). Montrer que \( L_z = m(x\dot y - y\dot x) \) est conservé. 📖 Voir le corrigé ▼ A \( \dfrac{dH}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left(\sum_i p_i\dot q_i - L\right) \) \( = \sum_i(\dot p_i\dot q_i + p_i\ddot q_i) - \sum_i\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i + \dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i}\ddot q_i\right) - \dfrac{\partial L}{\partial t} \) Les termes en \( \ddot q_i \) se simplifient (\( p_i = \partial L/\partial\dot q_i \)) ; les termes en \( \dot q_i \) se simplifient par Euler-Lagrange (\( \dot p_i = \partial L/\partial q_i \)). Il reste : \( \dfrac{dH}{dt} = -\dfrac{\partial L}{\partial t} \) Si \( \partial L/\partial t = 0 \) alors \( H = \text{cste} \). ✓ B Variation : \( \vec r_1 \to \vec r_1 + \varepsilon\vec e \), \( \vec r_2 \to \vec r_2 + \varepsilon\vec e \). \( L \) dépend de \( \vec r_1 - \vec r_2 \) → invariant sous cette translation. Charge de Noether : \( \sum_i \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\vec r}_i}\cdot\delta\vec r_i = (m_1\dot{\vec r}_1 + m_2\dot{\vec r}_2)\cdot\vec e = \vec P\cdot\vec e \) Pour tout \( \vec e \) : \( \vec P = m_1\dot{\vec r}_1 + m_2\dot{\vec r}_2 = \text{constante} \). ✓ C Variation infinitésimale de rotation autour de \( z \) : \( \delta x = -\varepsilon y \), \( \delta y = +\varepsilon x \) \( \delta\dot x = -\varepsilon\dot y \), \( \delta\dot y = +\varepsilon\dot x \) Charge de Noether : \( \dfrac{1}{\varepsilon}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot x}\delta x + \dfrac{\partial L}{\partial\dot y}\delta y\right) = m\dot x(-y) + m\dot y(x) \) \( = m(x\dot y - y\dot x) = L_z \) ✓ conservé si \( L \) est invariant par rotation. Résultats A : invariance temporelle → conservation de l'énergie \( H \) B : invariance spatiale → conservation de l'impulsion \( \vec P \) C : invariance rotationnelle → conservation de \( L_z \) 4 Double pendule — deux degrés de liberté couplés Niveau 3 — Système couplé 📋 Énoncé Un double pendule plan : masse \( m_1 \), longueur \( \ell_1 \), angle \( \theta_1 \) pour le premier ; masse \( m_2 \), longueur \( \ell_2 \), angle \( \theta_2 \) pour le second accroché au bout du premier. 1. Exprimer les positions cartésiennes de \( m_1 \) et \( m_2 \) en fonction de \( \theta_1, \theta_2 \). 2. Écrire les énergies cinétique et potentielle, puis le lagrangien. 3. Linéariser pour les petites oscillations et écrire les équations du mouvement couplées sous forme matricielle \( M\ddot{\boldsymbol\theta} + K\boldsymbol\theta = 0 \). 4. Pour le cas symétrique \( m_1 = m_2 = m \), \( \ell_1 = \ell_2 = \ell \), calculer les pulsations propres. Interpréter les modes normaux. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( x_1 = \ell_1\sin\theta_1 \), \( y_1 = -\ell_1\cos\theta_1 \) \( x_2 = \ell_1\sin\theta_1 + \ell_2\sin\theta_2 \), \( y_2 = -\ell_1\cos\theta_1 - \ell_2\cos\theta_2 \) 2 \( v_1^2 = \ell_1^2\dot\theta_1^2 \) \( v_2^2 = \ell_1^2\dot\theta_1^2 + \ell_2^2\dot\theta_2^2 + 2\ell_1\ell_2\dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2) \) \( T = \dfrac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot\theta_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2\ell_2^2\dot\theta_2^2 + m_2\ell_1\ell_2\dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2) \) \( V = -(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1 - m_2 g\ell_2\cos\theta_2 \) \( L = T - V \) 3 Pour les petites oscillations (\( \cos(\theta_1-\theta_2)\approx1 \), \( \sin\theta\approx\theta \)) : Les équations EL linéarisées donnent la forme matricielle : \( M = \begin{pmatrix}(m_1+m_2)\ell_1^2 & m_2\ell_1\ell_2\\ m_2\ell_1\ell_2 & m_2\ell_2^2\end{pmatrix} \) \( K = \begin{pmatrix}(m_1+m_2)g\ell_1 & 0\\ 0 & m_2 g\ell_2\end{pmatrix} \) 4 Cas symétrique \( m_1=m_2=m \), \( \ell_1=\ell_2=\ell \) : \( M = m\ell^2\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \), \( K = mg\ell\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} \) Cherchons \( \det(K - \omega^2 M) = 0 \), avec \( \omega_0^2 = g/\ell \) : \( (2-2\beta)(1-\beta) - (0-\beta) = 0 \) où \( \beta = \omega^2/\omega_0^2 \) \( 2 - 4\beta + 2\beta^2 + \beta = 0 \implies 2\beta^2 - 3\beta + 2\sqrt{2}\beta\ldots \) Solution exacte : \( \omega^2 = \omega_0^2(2 \pm \sqrt{2}) \) \( \omega_- = \sqrt{(2-\sqrt{2})g/\ell} \approx 0{,}765\sqrt{g/\ell} \) (mode lent, balancement en phase) \( \omega_+ = \sqrt{(2+\sqrt{2})g/\ell} \approx 1{,}848\sqrt{g/\ell} \) (mode rapide, en opposition de phase) Résultats \( \omega_\pm = \sqrt{(2\pm\sqrt{2})\,g/\ell} \approx \{0{,}77 ; 1{,}85\}\sqrt{g/\ell} \) Mode lent : les deux pendules oscillent en phase. Mode rapide : en opposition de phase. Le double pendule est aussi l'archétype du chaos déterministe — pour de grandes amplitudes, la trajectoire est imprévisible et sensible aux conditions initiales. 5 Densité lagrangienne et équation de Klein-Gordon Avancé — Théories des champs 📋 Énoncé Avancé — Théorie des champs En théorie des champs relativiste, le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne \( \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi) \) dépendant d'un champ scalaire \( \phi(x^\mu) \). L'action est \( S = \int\mathcal{L}\,d^4x \). La densité lagrangienne d'un champ scalaire réel de masse \( m \) est : \[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi^2 \] 1. Identifier les termes cinétique et de masse dans \( \mathcal{L} \) (avec \( \partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{c^2}(\partial_t\phi)^2 - (\nabla\phi)^2 \) en signature (+−−−)). 2. Écrire les équations d'Euler-Lagrange pour un champ : \( \partial_\mu\!\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0 \). 3. Montrer que l'équation du mouvement est l'équation de Klein-Gordon : \( \left(\Box + \dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0 \) où \( \Box = \dfrac{1}{c^2}\partial_t^2 - \nabla^2 \). 4. Pour \( m = 0 \), retrouver l'équation des ondes. Quel champ physique connu obéit à cette équation ? 📖 Voir le corrigé avancé ▼ 1 \( \mathcal{L} = \underbrace{\dfrac{1}{2c^2}(\partial_t\phi)^2 - \dfrac{1}{2}(\nabla\phi)^2}_{\text{terme cinétique (T−V pour le champ)}} - \underbrace{\dfrac{1}{2}\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi^2}_{\text{terme de masse}} \) Le terme cinétique du champ est l'analogue de \( \frac{1}{2}m\dot q^2 \). Le terme de masse est l'analogue d'un potentiel harmonique \( \frac{1}{2}k q^2 \). 2 \( \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi \) \( \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = -\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi \) Euler-Lagrange champ : \( \partial_\mu(\partial^\mu\phi) - \left(-\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi\right) = 0 \) \( \partial_\mu\partial^\mu\phi + \dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi = 0 \) 3 Or \( \partial_\mu\partial^\mu = \Box = \dfrac{1}{c^2}\partial_t^2 - \nabla^2 \) Donc : \[ \left(\Box + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0 \] C'est l'équation de Klein-Gordon (1926) — l'équation de base de la théorie quantique relativiste des champs scalaires. Le boson de Higgs obéit à cette équation (avec une non-linéarité supplémentaire — le potentiel mexicain). 4 Pour \( m = 0 \) : \( \Box\phi = 0 \implies \dfrac{1}{c^2}\partial_t^2\phi - \nabla^2\phi = 0 \) C'est l'équation des ondes (équation de d'Alembert), de vitesse de propagation \( c \). En electromagnétisme, chaque composante du 4-potentiel \( A_\mu \) (et donc \( \vec E \) et \( \vec B \) individuellement) obéit à \( \Box A_\mu = 0 \) dans la jauge de Lorenz — ce sont des ondes électromagnétiques se propageant à \( c \). Résultats \( \left(\Box + m^2c^2/\hbar^2\right)\phi = 0 \) — Équation de Klein-Gordon Pour \( m=0 \) : équation des ondes — obéie par les ondes EM (\( A_\mu \)) Toute la physique des particules élémentaires est encodée dans des densités lagrangiennes. Le Modèle Standard tient en une ligne de densité lagrangienne — l'une des grandes réalisations de la physique du XXe siècle. Les pièges classiques à éviter ✕ "La nature minimise l'action" : la condition correcte est \( \delta S = 0 \) — l'action est stationnaire, pas nécessairement minimale. Pour de nombreux problèmes (chemin de lumière entre deux points avec réflexion, transitions quantiques), l'action est un maximum ou un point col. On parle donc du "principe d'action stationnaire" (Hamilton) plutôt que de "moindre action" (Maupertuis). ✕ Confondre le hamiltonien \( H \) et l'énergie mécanique \( E \) : \( H = \sum_i p_i\dot q_i - L \). Si les contraintes ne dépendent pas explicitement du temps et si \( T \) est quadratique en \( \dot q_i \), alors \( H = T + V = E \). Mais si les contraintes dépendent du temps (par exemple, un train en accélération), \( H \neq E_{\text{mécanique}} \). ✕ "Le lagrangien est unique" : deux lagrangiens qui différent par la dérivée totale d'une fonction \( L' = L + d\Lambda(q,t)/dt \) donnent les mêmes équations d'Euler-Lagrange (car leur contribution à \( \delta S \) est nulle). Le lagrangien n'est pas unique — seule la physique (les équations du mouvement) l'est. ✕ Oublier les termes croisés dans l'énergie cinétique : en coordonnées curvilignes, \( T \) n'est pas simplement \( \frac{1}{2}m\sum_i\dot q_i^2 \). En polaires 3D : \( T = \frac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2 + r^2\sin^2\!\theta\,\dot\phi^2) \). Ces termes donnent les accélérations fictives (centrifuge, Coriolis) qui apparaissent naturellement dans les équations d'EL. Maîtriser la mécanique analytique et la physique théorique ? Cours complets sur le formalisme hamiltonien, les symétries, la mécanique quantique et les théories des champs. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta compréhension de la physique théorique fondamentale. 🪐 Méthode Perturbative de Laplace La méthode de Lagrange en action : les équations planétaires de Lagrange découlent directement du formalisme lagrangien. 🌌 L'Espace-Temps L'action de Hilbert-Einstein \( S = \int R\sqrt{-g}\,d^4x \) est le principe variationnel de la relativité générale. ❄️ Condensat de Bose-Einstein L'équation de Gross-Pitaevskii (GPE) décrit le condensat — elle dérive d'un principe variationnel sur l'action du champ bosonique. ∫ Transformée de Fourier L'analyse spectrale des modes normaux et des solutions des équations EL utilise la transformée de Fourier.

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Le Principe de Moindre Action en Physique

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