Étiquette : Produit Scalaire

Comment Calculer un Produit Scalaire : Les 3 Formules Maths · Géométrie Comment Calculer un Produit Scalaire ? Le produit scalaire est un outil clé en géométrie. Découvrez les 3 formules essentielles pour le calculer et dans quelle situation utiliser chacune d'elles. ⏱ Lecture : 6 min 📐 Niveau : Première ✦ 3 Formules Clés Qu'est-ce que le produit scalaire ? Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel (un "scalaire"), et non un vecteur. On le note \( \vec{u} \cdot \vec{v} \). Ce nombre nous renseigne sur la relation géométrique entre les deux vecteurs, notamment leur longueur et l'angle qu'ils forment. Sa principale utilité est de caractériser l'orthogonalité : si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est égal à zéro, alors ces deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Formule 1 : Avec le cosinus de l'angle C'est la définition géométrique de base du produit scalaire. On l'utilise quand on connaît les longueurs (normes) des deux vecteurs et l'angle qu'ils forment. Formule avec le Cosinus \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \] Exemple Soit deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) tels que \( \|\vec{u}\| = 4 \), \( \|\vec{v}\| = 3 \) et l'angle \( (\vec{u}, \vec{v}) = 60° \). On sait que \( \cos(60°) = 0,5 \). \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 \times 0,5 = 12 \times 0,5 = 6 \). Le produit scalaire vaut 6. Formule 2 : Avec les coordonnées dans un repère orthonormé C'est la formule la plus utilisée dans les exercices de géométrie repérée. Elle est très rapide et efficace si vous connaissez les coordonnées des vecteurs. Formule avec les Coordonnées Si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) dans un repère orthonormé : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \] Exemple Soit les vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \). \( \vec{u} \cdot \vec{v} = (2 \times 5) + (-3 \times 4) = 10 - 12 = -2 \). Le produit scalaire vaut -2. Formule 3 : Avec la projection orthogonale Cette formule est plus visuelle et très utile dans les problèmes de géométrie pure, sans repère. Elle permet de simplifier le calcul en "projetant" un vecteur sur l'autre. Formule avec la Projection Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). Alors : \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH} \] Le calcul se simplifie car les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AH} \) sont colinéaires. Si \( \vec{AB} \) et \( \vec{AH} \) sont de même sens, \( \vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH \). Si \( \vec{AB} \) et \( \vec{AH} \) sont de sens opposé, \( \vec{AB} \cdot \vec{AH} = - AB \times AH \). Exemple Dans un triangle ABC, soit H le projeté de C sur (AB). On a AB = 5 et AH = 2. Les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AH} \) sont de même sens. \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH = 5 \times 2 = 10 \). Le produit scalaire vaut 10. Récapitulatif : Quelle formule choisir ? 1J'ai les coordonnées des vecteurs ? → J'utilise la formule \( xx' + yy' \). C'est la plus rapide. 2J'ai les longueurs et un angle ? → J'utilise la formule avec le cosinus. 3J'ai une figure géométrique sans repère ? → Je pense à la projection orthogonale pour simplifier le calcul. Prêt à maîtriser la géométrie ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours complet → Pour aller plus loin Le produit scalaire est la porte d'entrée vers d'autres notions clés. 📐 Le théorème d'Al-Kashi Une application directe du produit scalaire pour les triangles. 📏 La Loi des Sinus L'autre formule essentielle pour résoudre les triangles quelconques. → Équation cartésienne d'une droite Comment le produit scalaire permet de définir une droite avec un vecteur normal. ⭕ Équation d'un cercle Définir un cercle à l'aide du produit scalaire et de la norme.

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