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Comment Calculer la Somme des Termes d'une Suite ? Maths · Suites Numériques Calculer la Somme des Termes d'une Suite Numérique Apprenez à additionner efficacement les termes d'une suite arithmétique ou géométrique grâce aux formules essentielles du programme de Première. ⏱ Lecture : 5 min 📐 Niveau : Première ✦ Formules & Exemples Pourquoi calculer la somme des termes ? Calculer la somme des termes d'une suite, notée \( S_n \), consiste à additionner tous les termes du début jusqu'à un certain rang n. Par exemple, \( S_3 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 \). Si le nombre de termes est petit, on peut le faire à la main. Mais si l'on doit calculer la somme des 100 premiers termes, cela devient impossible. C'est là que les formules deviennent indispensables. Elles permettent de trouver le résultat directement, sans calculer chaque terme intermédiaire. Au niveau Première, on se concentre sur les sommes des suites arithmétiques et géométriques. Cas 1 : Somme d'une suite arithmétique La formule pour la somme des termes d'une suite arithmétique est très intuitive. Elle se base sur l'idée que la moyenne entre le premier et le dernier terme est aussi la moyenne de tous les termes. Formule de la somme arithmétique \[ S_n = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2} \] Exemple Soit une suite arithmétique de premier terme \( u_0 = 2 \) et de raison \( r = 3 \). Calculons la somme des 10 premiers termes (de \( u_0 \) à \( u_9 \)). 1. Nombre de termes : De \( u_0 \) à \( u_9 \), il y a \( 9 - 0 + 1 = 10 \) termes. 2. Premier terme : \( u_0 = 2 \). 3. Dernier terme : On doit d'abord calculer \( u_9 \). \( u_9 = u_0 + 9 \cdot r = 2 + 9 \cdot 3 = 2 + 27 = 29 \). 4. Application de la formule : \( S_9 = 10 \times \frac{2 + 29}{2} = 10 \times \frac{31}{2} = 5 \times 31 = 155 \). Conclusion : La somme des 10 premiers termes est 155. Cas 2 : Somme d'une suite géométrique La formule pour la somme des termes d'une suite géométrique est moins intuitive mais tout aussi puissante. Elle est valable pour toute raison \( q \neq 1 \). Formule de la somme géométrique \[ S_n = \text{Premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q} \] Exemple Soit une suite géométrique de premier terme \( u_0 = 5 \) et de raison \( q = 2 \). Calculons la somme des 7 premiers termes (de \( u_0 \) à \( u_6 \)). 1. Nombre de termes : De \( u_0 \) à \( u_6 \), il y a \( 6 - 0 + 1 = 7 \) termes. 2. Premier terme : \( u_0 = 5 \). 3. Raison : \( q = 2 \). 4. Application de la formule : \( S_6 = 5 \times \frac{1 - 2^7}{1 - 2} = 5 \times \frac{1 - 128}{-1} = 5 \times \frac{-127}{-1} = 5 \times 127 = 635 \). Conclusion : La somme des 7 premiers termes est 635. Erreurs fréquentes à éviter ! Se tromper dans le nombre de termes — Pour une somme de \( u_p \) à \( u_n \), il y a \( n - p + 1 \) termes, et non \( n - p \). C'est l'erreur la plus courante. ! Confondre les deux formules — Apprenez à bien les distinguer. La formule géométrique utilise la raison \( q \), tandis que l'arithmétique utilise le premier et le dernier terme. ! Erreur de calcul avec les puissances — Faites attention aux signes et aux priorités de calcul, surtout dans la formule géométrique avec \( 1 - q^n \). Prêt à maîtriser les suites ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours sur les suites → Pour aller plus loin Maintenant que vous savez calculer les sommes, approfondissez d'autres aspects des suites. ➕ Démontrer qu'une suite est arithmétique La méthode infaillible avec le calcul de la différence uₙ₊₁ - uₙ. ✖️ Démontrer qu'une suite est géométrique La méthode rigoureuse avec le calcul du rapport uₙ₊₁ / uₙ. 📈 Étudier le sens de variation d'une suite Comment savoir si une suite est croissante, décroissante ou constante ? 💰 Application : Les intérêts composés Modéliser l'évolution d'un capital placé à un taux fixe.

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