📘 Mouvement d’un corps céleste dans un champ de gravitation
Les lois de Kepler décrivent les orbites des planètes et satellites. La deuxième loi de Newton appliquée à la gravitation permet de retrouver ces lois et de calculer les propriétés orbitales.
📐 I. Les trois lois de Kepler
- 1ère loi (des orbites) : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers.
- 2ème loi (des aires) : le vecteur reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales en des temps égaux. Pour une orbite circulaire : vitesse constante.
- 3ème loi (des périodes) : T²/a³ = constante (propre au corps central), avec T la période et a le demi-grand axe (rayon R pour une orbite circulaire).
Pour une orbite circulaire : T²/R³ = 4π²/(G·M_Soleil).
📐 II. Équation du mouvement
Force de gravitation universelle : F⃗ = G·M·m/r² (vers le corps attracteur).
Application 2ème loi de Newton : G·M·m/R² = m·v²/R (mouvement circulaire).
Vitesse orbitale : v = √(G·M/R).
Période de révolution : T = 2πR/v = 2π√(R³/GM).
On retrouve la 3ème loi de Kepler : T² = (4π²/GM) × R³.
📐 III. Satellites géostationnaires
Un satellite géostationnaire a la même période de révolution que la Terre (T = 24 h) et orbite dans le plan équatorial → il est fixe par rapport au sol.
Son altitude : R_geostat ≈ 42 200 km du centre de la Terre (≈ 35 800 km au-dessus de la surface).
Applications : télécommunications, météorologie, GPS (pour les orbites MEO).
💡 À retenir
• Kepler 3 : T²/R³ = 4π²/(GM) (constante pour tous les objets autour du même corps central).
• Vitesse orbitale circulaire : v = √(GM/R).
• Satellite géostationnaire : T = 24 h, fixe par rapport au sol.
• G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².