Exercice 3 — Problème de synthèse type Baccalauréat
Partie A — Calculs divers
1) Calculer les valeurs exactes suivantes (montrer le raisonnement) :
| Expression | Valeur exacte |
|---|---|
| a) cos(3π/4) + sin(3π/4) | … |
| b) cos²(π/6) + sin²(π/3) | … |
| c) 2sin(5π/6) − cos(4π/3) | … |
Partie B — Relation fondamentale
2) Soit x un réel tel que cos(x) = −2/3 et sin(x) < 0.
a) Calculer sin²(x) puis sin(x).
b) Calculer sin(π + x), cos(π − x), sin(−x) et cos(π/2 − x).
Partie C — Signe et équation
3) Déterminer les valeurs de x ∈ [0 ; 2π] pour lesquelles sin(x) = √3/2.
(Utiliser le tableau des valeurs remarquables et les angles associés.)
4) Déterminer les valeurs de x ∈ [0 ; 2π] pour lesquelles cos(x) = −1/2.
5) Pour quelles valeurs de x ∈ [0 ; 2π] a-t-on sin(x) ≥ 1/2 ?
(Utiliser le cercle trigonométrique et le signe de sin.)