📘 Définitions du cosinus et du sinus, valeurs remarquables
Le cosinus et le sinus d’un réel x sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point image de x sur le cercle trigonométrique.
📐 Définitions
Soit x un réel et M le point image de x sur le cercle trigonométrique. M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)) :
cos(x) = abscisse de M ; sin(x) = ordonnée de M
Propriétés immédiates :
• −1 ≤ cos(x) ≤ 1 et −1 ≤ sin(x) ≤ 1 pour tout réel x.
• cos²(x) + sin²(x) = 1 (relation de Pythagore, car OM = 1).
• Périodicité : cos(x + 2kπ) = cos(x) et sin(x + 2kπ) = sin(x).
📐 Tableau des valeurs remarquables (à connaître par cœur)
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 ou −π/2 | 2π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| cos(x) | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| sin(x) | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | −1 | 0 |
Moyen mnémotechnique pour sin : les valeurs 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 correspondent à √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1.
📐 Valeurs déduites des points remarquables du cercle
| Point | Réel x | cos(x) | sin(x) |
|---|---|---|---|
| A (1 ; 0) | 0 | 1 | 0 |
| B (0 ; 1) | π/2 | 0 | 1 |
| A’ (−1 ; 0) | π | −1 | 0 |
| B’ (0 ; −1) | −π/2 ou 3π/2 | 0 | −1 |
| A (1 ; 0) | 2π | 1 | 0 |
💡 À retenir
• cos(x) = abscisse ; sin(x) = ordonnée du point sur le cercle.
• cos²(x) + sin²(x) = 1 (relation fondamentale).
• Tableau des valeurs remarquables : 8 valeurs à connaître par cœur.
• Bornes : cos(x) ∈ [−1 ; 1] et sin(x) ∈ [−1 ; 1].