📘 Les angles associés
Connaître cos(x) ou sin(x) permet de calculer cos et sin des angles associés à x par des symétries géométriques sur le cercle trigonométrique.
📐 Tableau des formules d’angles associés
| Angle associé | cos | sin | Symétrie géométrique |
|---|---|---|---|
| −x | cos(−x) = cos(x) | sin(−x) = −sin(x) | Symétrie par rapport à l’axe des abscisses |
| π + x | cos(π+x) = −cos(x) | sin(π+x) = −sin(x) | Symétrie par rapport à l’origine O |
| π − x | cos(π−x) = −cos(x) | sin(π−x) = sin(x) | Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées |
| π/2 + x | cos(π/2+x) = −sin(x) | sin(π/2+x) = cos(x) | Symétrie par rapport à la droite y = −x |
| π/2 − x | cos(π/2−x) = sin(x) | sin(π/2−x) = cos(x) | Symétrie par rapport à la droite y = x |
📐 Exemples d’application
| Calcul | Étape | Résultat |
|---|---|---|
| sin(5π/6) | sin(π − π/6) = sin(π/6) | 1/2 |
| cos(−π/4) | cos(−x) = cos(x) → cos(π/4) | √2/2 |
| sin(−π/2) | sin(−x) = −sin(x) → −sin(π/2) = −1 | −1 |
| cos(3π/2) | cos(π/2 + π) = −cos(π/2) = 0 | 0 |
| sin(3π/4) | sin(π − π/4) = sin(π/4) | √2/2 |
| cos(5π/3) | cos(2π − π/3) = cos(−π/3) = cos(π/3) | 1/2 |
💡 À retenir
• cos(−x) = cos(x) (pair) ; sin(−x) = −sin(x) (impair).
• cos(π±x) = −cos(x) ; sin(π+x) = −sin(x) ; sin(π−x) = sin(x).
• Méthode : ramener l’angle à un angle de [0 ; π/2] en utilisant les symétries.