📘 Les fonctions cosinus et sinus
Cosinus et sinus sont des fonctions définies sur ℝ, périodiques de période 2π. La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
📐 Propriétés comparées des fonctions sinus et cosinus
| Propriété | Fonction sinus | Fonction cosinus |
|---|---|---|
| Ensemble de définition | ℝ | ℝ |
| Ensemble des valeurs | [−1 ; 1] | [−1 ; 1] |
| Parité | Impaire : sin(−x) = −sin(x). Courbe symétrique par rapport à O. | Paire : cos(−x) = cos(x). Courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. |
| Périodicité | Périodique de période 2π : sin(x+2π) = sin(x) | Périodique de période 2π : cos(x+2π) = cos(x) |
| Allure de la courbe | Sinusoïde ; passe par (0, 0) | Sinusoïde ; passe par (0, 1) ; décalage de π/2 vers la gauche par rapport à sin |
📐 Signe de sin(x) et cos(x) sur [0 ; 2π]
| x | 0 | π | 2π | ||
|---|---|---|---|---|---|
| sin(x) | 0 | + (positif sur ]0 ; π[) | 0 | − (négatif sur ]π ; 2π[) | 0 |
| x | 0 | π/2 | 3π/2 | 2π | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| cos(x) | 1 | + (sur [0 ; π/2[) | 0 | − (sur ]π/2 ; 3π/2[) | 0 | + (sur ]3π/2 ; 2π]) | 1 |
💡 À retenir
• Les deux fonctions sont définies sur ℝ, à valeurs dans [−1 ; 1].
• Période : 2π pour les deux.
• sin : impaire (symétrie O). cos : paire (symétrie axe y).
• sin(x) ≥ 0 sur [0 ; π], sin(x) ≤ 0 sur [π ; 2π].
• cos(x) ≥ 0 sur [0 ; π/2] ∪ [3π/2 ; 2π], négatif sur [π/2 ; 3π/2].