📘 I-C — Déterminant pour le parallélisme et l’alignement

📐 Parallélisme via le déterminant

Δ et Δ’ ont pour vecteurs directeurs u⃗(a;b) et v⃗(c;d). Alors :

Δ ∥ Δ’ (ou Δ = Δ’) ⟺ det(u⃗,v⃗) = ad − bc = 0

Exemple : u⃗(√2;7) et v⃗(2;7√2). det = √2×7√2 − 7×2 = 14 − 14 = 0 → parallèles ou confondues.

📐 Condition d’alignement de trois points

A, B, C alignés ⟺ AB⃗ et AC⃗ colinéaires ⟺ det(AB⃗, AC⃗) = 0.

Exemple : A(2;4), B(5;−3), C(7;−7).
AB⃗=(3;−7) ; BC⃗=(2;−4). det(AB⃗,BC⃗) = 3×(−4)−(−7)×2 = −12+14 = 2 ≠ 0 → non alignés.

💡 À retenir

• det(u⃗,v⃗) = ad − bc.
• det = 0 ⟺ colinéaires ⟺ droites parallèles ou confondues.
• det = 0 ⟺ trois points alignés.