📐 II-A — Équation cartésienne d’une droite

📐 Forme générale

Toute droite admet une équation cartésienne de la forme :

ax + by + c = 0

avec (a; b) ≠ (0;0). Le vecteur normal à la droite est n⃗(a;b) et un vecteur directeur est u⃗(−b;a).

📐 Exemples

• 2x + 3y − 6 = 0 : a=2, b=3, c=−6. Vecteur directeur : (−3;2).
• x = 5 : droite verticale, b=0. Vecteur directeur : (0;1) = j⃗.
• y = 3 : droite horizontale, a=0. Vecteur directeur : (1;0) = i⃗.

📐 Déterminer l’équation à partir d’un point et d’un vecteur directeur

Droite passant par A(xA;yA) avec vecteur directeur u⃗(d;e) :
Un point M(x;y) est sur la droite ⟺ AM⃗ colinéaire à u⃗ ⟺ det(AM⃗,u⃗) = 0.
e(x−xA) − d(y−yA) = 0 → ex − dy + (dyA−exA) = 0.

💡 À retenir

• ax+by+c=0 : vecteur directeur u⃗=(−b;a).
• Pour tester si un point M est sur la droite : remplacer x,y par les coordonnées de M.
• Toute droite (y compris verticale) a une équation cartésienne.