📘 III-B — Les nombres impairs

📐 Définition

Un entier n est impair s’il n’est pas multiple de 2 : ∃ k ∈ ℤ tel que n = 2k + 1.

Exemples : −3, 1, 7, 99 sont impairs.

📐 Propriété : le carré d’un nombre impair est impair

Preuve : n = 2k+1 → n² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 = 2k’+1. Donc n² est impair.

📐 Conséquence importante

• n² pair ⟺ n pair.
• n² impair ⟺ n impair.
(Utilisé dans la preuve que √2 est irrationnel !)

💡 À retenir

• Impair ⟺ n = 2k+1.
• n² impair ⟺ n impair ; n² pair ⟺ n pair.
• Tout entier est soit pair, soit impair (pas les deux).