📘 III-C — Les nombres premiers

Les nombres premiers sont les « briques » de l’arithmétique. Ils sont fondamentaux en cryptographie (sécurité des échanges sur Internet).

📐 Définition

Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même.

Liste des premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…

⚠️ 1 n’est PAS premier (par convention). Le seul nombre premier pair est 2.

📐 Décomposition en facteurs premiers

Tout entier n ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de nombres premiers.

Méthode : diviser successivement par 2, 3, 5, 7…

Exemples :
• 360 = 2³ × 3² × 5.
• 420 = 2² × 3 × 5 × 7.
• 100 = 2² × 5².

📐 Applications

• PGCD(a, b) = produit des facteurs premiers communs au plus petit exposant.
PGCD(360, 420) = 2² × 3 × 5 = 60.
• Deux entiers sont premiers entre eux si PGCD = 1 (ex : 8 et 15).

💡 À retenir

• Nombre premier : divisible seulement par 1 et lui-même (et ≥ 2).
• Décomposition unique en facteurs premiers.
• PGCD = exposants minimaux des facteurs communs.