📘 Bilan — Récapitulatif complet du chapitre
🔹 Les quatre formules de calcul
| Méthode | Formule |
|---|---|
| Cosinus | u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(angle) |
| Projection orthogonale | AB⃗ · CD⃗ = ±A’B’ × CD |
| Normes | u⃗ · v⃗ = ½(||u⃗||² + ||v⃗||² − ||u⃗ − v⃗||²) |
| Coordonnées (repère orthonormé) | u⃗(x,y) · v⃗(x’,y’) = xx’ + yy’ |
🔹 Propriétés et orthogonalité
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Commutativité | u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ |
| Norme | u⃗ · u⃗ = ||u⃗||² |
| Distributivité | u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗·v⃗ + u⃗·w⃗ |
| Orthogonalité | u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0 |
| Identité remarquable | ||u⃗ + v⃗||² = ||u⃗||² + 2u⃗·v⃗ + ||v⃗||² |
🔹 Applications
| Application | Formule |
|---|---|
| Al-Kashi | a² = b² + c² − 2bc cos(Â) |
| Angle | cos(Â) = (b² + c² − a²) / (2bc) |
| Formule du milieu | MA⃗ · MB⃗ = MI² − ¼ AB² |
| Cercle de diamètre [AB] | MA⃗ · MB⃗ = 0 |
🔹 Pièges à éviter
• Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur. Ne jamais écrire u⃗ · v⃗ = w⃗.
• Formule des coordonnées : valable uniquement dans un repère orthonormé.
• Projection orthogonale : bien vérifier le signe (+ si même sens, − si sens contraire).
• Al-Kashi : ne pas oublier le facteur 2 : a² = b² + c² − 2bc cos(Â).
• Orthogonalité : u⃗ · v⃗ = 0 n’implique pas forcément que l’un des vecteurs est nul.