📘 Les quatre formules de calcul du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Il peut être calculé de quatre façons différentes selon les informations disponibles.
📐 Définition
Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs non nuls, et A, B, C tels que u⃗ = AB⃗ et v⃗ = AC⃗. Le produit scalaire de u⃗ et v⃗ est le réel :
u⃗ · v⃗ = ||AB⃗|| × ||AC⃗|| × cos(AB⃗, AC⃗) = AB × AC × cos(angle en A)
Convention : si l’un des vecteurs est nul, u⃗ · v⃗ = 0.
📐 Les quatre formules de calcul
| Méthode | Formule | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| 1 — Par cosinus | u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(u⃗, v⃗) | Quand on connaît les longueurs et l’angle entre les vecteurs |
| 2 — Par projection orthogonale | AB⃗ · CD⃗ = ±A’B’ × CD (signe + si même sens, − si sens contraire) | Quand on peut facilement projeter orthogonalement sur la droite de CD |
| 3 — Par les normes (identités) | u⃗ · v⃗ = ½(||u⃗||² + ||v⃗||² − ||u⃗ − v⃗||²) ou ½(||u⃗ + v⃗||² − ||u⃗||² − ||v⃗||²) | Quand on connaît les longueurs des côtés d’un triangle (sans angle) |
| 4 — Par les coordonnées | u⃗(x, y) · v⃗(x’, y’) = xx’ + yy’ | Dans un repère orthonormé, quand on connaît les coordonnées |
📐 Exemples numériques
| Situation | Méthode | Calcul | Résultat |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral ABC, côté 5 cm | Cosinus (angle = π/3) | AB⃗ · AC⃗ = 5 × 5 × cos(π/3) = 25 × ½ | 12,5 |
| AB⃗(2;2), CD⃗(4;0) en repère orthonormé | Coordonnées | 2×4 + 2×0 | 8 |
| Triangle équilatéral ABC, côté 8 cm | Normes | AC⃗ · AB⃗ = ½(64 + 64 − 64) | 32 |
💡 À retenir
• Le produit scalaire est un nombre réel (pas un vecteur).
• Formule par cosinus : u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(angle).
• Formule en coordonnées : u⃗ · v⃗ = xx’ + yy’ (dans un repère orthonormé).
• Norme au carré : u⃗ · u⃗ = ||u⃗||².