Exercice 1 — Calcul du produit scalaire selon différentes méthodes
Partie A — Par cosinus
1) Calculer AB⃗ · AC⃗ dans les situations suivantes :
a) Triangle ABC isocèle en A avec AB = AC = 6 cm et angle en A = π/3.
b) Deux vecteurs u⃗ et v⃗ tels que ||u⃗|| = 4, ||v⃗|| = 5 et l’angle entre eux est π/4.
c) Deux vecteurs u⃗ et v⃗ tels que ||u⃗|| = 3, ||v⃗|| = 7 et l’angle entre eux est π/2.
Partie B — Par les coordonnées
2) Dans un repère orthonormé, calculer u⃗ · v⃗ pour :
| u⃗ | v⃗ | u⃗ · v⃗ |
|---|---|---|
| a) (3, 4) | (1, −2) | … |
| b) (−2, 5) | (4, 3) | … |
| c) (1, 0) | (0, 1) | … |
| d) (2, −3) | (6, 4) | … |
3) Calculer ||u⃗|| pour u⃗(−5 ; 12). En déduire la distance AB si A(2 ; 1) et B(−3 ; 13).
Partie C — Par les normes
4) Dans un triangle ABC, on sait que AB = 5, AC = 7 et BC = 8. Calculer AB⃗ · AC⃗ en utilisant la formule des normes.