📘 Applications du produit scalaire
Le produit scalaire permet de calculer des longueurs, des angles et de caractériser des cercles. Les applications principales sont la formule d’Al-Kashi et le cercle de diamètre [AB].
📐 Formule d’Al-Kashi (théorème de Pythagore généralisé)
Dans un triangle ABC quelconque, avec BC = a, AC = b, AB = c :
a² = b² + c² − 2bc × cos(angle en A)
De même pour les autres côtés. Cette formule se démontre à partir de ||BC⃗||² = ||BA⃗ + AC⃗||² développé avec le produit scalaire.
Cas particulier : Si l’angle en A = 90°, alors cos(90°) = 0 → a² = b² + c² : on retrouve Pythagore.
Exemple : Triangle avec AB = 8, AC = 3, angle en A = 30°.
BC² = 8² + 3² − 2×8×3×cos(30°) = 64 + 9 − 48×(√3/2) = 73 − 24√3.
BC ≈ 5,61.
📐 Formule du milieu
Soit I le milieu de [AB]. Pour tout point M du plan :
MA⃗ · MB⃗ = MI² − ¼ AB²
📐 Ensemble de points et cercle
L’ensemble des points M du plan tels que MA⃗ · MB⃗ = 0 est le cercle de diamètre [AB] (centre I, milieu de [AB], rayon ½ AB).
Démonstration : MA⃗ · MB⃗ = 0 ↔ MI² − ¼ AB² = 0 ↔ MI = ½ AB → M est sur le cercle de centre I et de rayon ½ AB.
Interprétation géométrique : tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit (réciproque du théorème de Thalès).
📐 Récapitulatif des formules d’application
| Application | Formule |
|---|---|
| Longueur d’un côté (Al-Kashi) | a² = b² + c² − 2bc cos(Â) |
| Angle connaissant les côtés | cos(Â) = (b² + c² − a²) / (2bc) |
| Norme d’un vecteur somme | ||u⃗ + v⃗||² = ||u⃗||² + 2u⃗·v⃗ + ||v⃗||² |
| Formule du milieu | MA⃗ · MB⃗ = MI² − ¼ AB² |
| Cercle de diamètre [AB] | MA⃗ · MB⃗ = 0 ↔ M est sur le cercle de diamètre [AB] |
💡 À retenir
• Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc cos(Â).
• Cercle de diamètre [AB] : {M | MA⃗ · MB⃗ = 0}.
• Formule du milieu : MA⃗ · MB⃗ = MI² − ¼ AB².