Exercice 2 — Orthogonalité et propriétés du produit scalaire

Partie A — Test d’orthogonalité

1) Dans un repère orthonormé, déterminer si chaque paire de vecteurs est orthogonale :
a) u⃗(3, 4) et v⃗(8, −6).
b) u⃗(2, 5) et v⃗(10, −4).
c) u⃗(1, √3) et v⃗(√3, −1).

2) On donne u⃗(1, 5) et v⃗(x, 2). Trouver la valeur de x pour que u⃗ et v⃗ soient orthogonaux.

3) On donne A(1, 2), B(4, 6), C(−1, 5). Montrer que le triangle ABC est rectangle. En quel sommet se trouve l’angle droit ?

Partie B — Développements et identités

4) Soient u⃗ et v⃗ tels que ||u⃗|| = 3, ||v⃗|| = 4 et u⃗ · v⃗ = 6. Calculer :
a) ||u⃗ + v⃗||²
b) ||u⃗ − v⃗||²
c) ||u⃗ + v⃗||