📘 Propriétés du produit scalaire et orthogonalité
Le produit scalaire possède des propriétés algébriques (commutativité, distributivité, bilinéarité) et est l’outil fondamental pour tester l’orthogonalité de deux vecteurs.
📐 Propriétés algébriques
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Norme au carré | u⃗ · u⃗ = ||u⃗||² |
| Commutativité (symétrie) | u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ |
| Distributivité à gauche | u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ |
| Distributivité à droite | (u⃗ + v⃗) · w⃗ = u⃗ · w⃗ + v⃗ · w⃗ |
| Homogénéité (scalaire) | (λu⃗) · v⃗ = λ(u⃗ · v⃗) et u⃗ · (λv⃗) = λ(u⃗ · v⃗) |
Ces propriétés permettent de développer des expressions vectorielles comme en algèbre, en remplaçant le produit × par le produit scalaire ·.
Identité remarquable : ||u⃗ + v⃗||² = ||u⃗||² + 2(u⃗ · v⃗) + ||v⃗||²
📐 Orthogonalité et produit scalaire
Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs non nuls du plan :
u⃗ et v⃗ sont orthogonaux ⟺ u⃗ · v⃗ = 0
En coordonnées (repère orthonormé) : u⃗(x, y) et v⃗(x’, y’) sont orthogonaux ⟺ xx’ + yy’ = 0.
Exemple : u⃗(1, 5) et v⃗(x, 2) orthogonaux → 1×x + 5×2 = 0 → x + 10 = 0 → x = −10.
📐 Lien avec le théorème de Pythagore
||u⃗||² + ||v⃗||² = ||u⃗ + v⃗||² ⟺ u⃗ · v⃗ = 0 ⟺ u⃗ ⊥ v⃗. C’est la généralisation vectorielle du théorème de Pythagore.
💡 À retenir
• u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ (commutatif).
• Distributivité : u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗.
• ||u⃗ + v⃗||² = ||u⃗||² + 2u⃗·v⃗ + ||v⃗||².
• Orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0.
• En coordonnées : perpendiculaire ⟺ xx’ + yy’ = 0.