✅ Corrigé détaillé — Exercice 3

Partie A

1) Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2×AB×AC×cos(π/3) = 36 + 64 − 2×6×8×½ = 100 − 48 = 52.
BC = √52 = 2√13 ≈ 7,21.

2) Formule pour l’angle en Q : cos(Q) = (PQ² + QR² − PR²) / (2×PQ×QR) = (25 + 49 − 81) / (2×5×7) = (−7) / 70 = −1/10.
angle en Q = arccos(−0,1) ≈ 1,671 rad ≈ 95,7°.

Partie B

3a) MA⃗ = A − M = (0−x, 0−y) = (−x, −y). MB⃗ = B − M = (6−x, −y).
3b) MA⃗ · MB⃗ = (−x)(6−x) + (−y)(−y) = −6x + x² + y² = 0.
→ x² − 6x + y² = 0 → (x−3)² − 9 + y² = 0 → (x−3)² + y² = 9.
3c) Centre : I(3, 0) (milieu de AB = ((0+6)/2, 0) = (3, 0) ✓). Rayon : 3 = ½ × AB = ½ × 6 ✓.
C’est bien le cercle de diamètre [AB].

Partie C

4a) AB⃗ = (4, 2), AC⃗ = (2, 4), BC⃗ = (−2, 2).
AB = √(16+4) = √20 = 2√5. AC = √(4+16) = √20 = 2√5. BC = √(4+4) = 2√2.

4b) AB⃗ · AC⃗ = 4×2 + 2×4 = 8 + 8 = 16.
AB⃗ · AC⃗ ≠ 0 → le triangle n’est pas rectangle en A.
Vérification : AB² + BC² = 20 + 8 = 28 ≠ 20 = AC² → non rectangle en B non plus. AC² + BC² = 20 + 8 = 28 ≠ 20 = AB² → non rectangle en C.

4c) cos(BAC) = AB⃗ · AC⃗ / (||AB⃗|| × ||AC⃗||) = 16 / (2√5 × 2√5) = 16 / (4×5) = 16/20 = 4/5 = 0,8.
angle BAC = arccos(0,8) ≈ 0,644 rad ≈ 36,9°.