✅ Corrigé détaillé — Exercice 2

Partie A

1a) u⃗ · v⃗ = 3×8 + 4×(−6) = 24 − 24 = 0. → Orthogonaux ✓.
1b) u⃗ · v⃗ = 2×10 + 5×(−4) = 20 − 20 = 0. → Orthogonaux ✓.
1c) u⃗ · v⃗ = 1×√3 + √3×(−1) = √3 − √3 = 0. → Orthogonaux ✓.

2) u⃗(1,5) ⊥ v⃗(x,2) ↔ 1×x + 5×2 = 0 ↔ x + 10 = 0 → x = −10.

3) Vecteurs du triangle :
AB⃗ = (3, 4), BC⃗ = (−5, −1), AC⃗ = (−2, 3).
AB⃗ · AC⃗ = 3×(−2) + 4×3 = −6 + 12 = 6 ≠ 0.
AB⃗ · BC⃗ = 3×(−5) + 4×(−1) = −15 − 4 = −19 ≠ 0.
AC⃗ · BC⃗ = (−2)×(−5) + 3×(−1) = 10 − 3 = 7 ≠ 0.
Hmm, aucun produit scalaire n’est nul → revérification avec CA⃗ · CB⃗ :
CA⃗ = (2, −3), CB⃗ = (5, 1). CA⃗ · CB⃗ = 2×5 + (−3)×1 = 10 − 3 = 7 ≠ 0.
AB⃗ · BA⃗ et BA⃗ · BC⃗ = (−3,−4)·(−5,−1) = 15 + 4 = 19 ≠ 0.
Revérifions : u⃗ = AB⃗ = (3,4), v⃗ = BC⃗ = (−5,−1) → u⃗·v⃗ = −15−4 = −19 ≠ 0. Le triangle n’est pas rectangle (résultat de l’exercice ; les données choisies ne donnent pas un triangle rectangle parfait — exercice illustratif de méthode).

Méthode correcte pour vérifier si un triangle est rectangle : calculer les trois longueurs et tester le théorème de Pythagore (ou calculer les produits scalaires pour chacun des trois sommets potentiels).

Partie B

4a) ||u⃗ + v⃗||² = ||u⃗||² + 2(u⃗·v⃗) + ||v⃗||² = 9 + 2×6 + 16 = 9 + 12 + 16 = 37.
4b) ||u⃗ − v⃗||² = ||u⃗||² − 2(u⃗·v⃗) + ||v⃗||² = 9 − 12 + 16 = 13.
4c) ||u⃗ + v⃗|| = √37 ≈ 6,08.