✅ Corrigé détaillé — Exercice 1
Partie A
1a) AB⃗ · AC⃗ = AB × AC × cos(π/3) = 6 × 6 × ½ = 18.
1b) u⃗ · v⃗ = 4 × 5 × cos(π/4) = 20 × (√2/2) = 10√2 ≈ 14,14.
1c) u⃗ · v⃗ = 3 × 7 × cos(π/2) = 21 × 0 = 0. (Vecteurs orthogonaux.)
Partie B
| u⃗ | v⃗ | Calcul xx’ + yy’ | u⃗ · v⃗ |
|---|---|---|---|
| a) (3, 4) | (1, −2) | 3×1 + 4×(−2) = 3 − 8 | −5 |
| b) (−2, 5) | (4, 3) | (−2)×4 + 5×3 = −8 + 15 | 7 |
| c) (1, 0) | (0, 1) | 1×0 + 0×1 | 0 (orthogonaux) |
| d) (2, −3) | (6, 4) | 2×6 + (−3)×4 = 12 − 12 | 0 (orthogonaux) |
3) ||u⃗||² = u⃗ · u⃗ = (−5)² + 12² = 25 + 144 = 169 → ||u⃗|| = 13.
AB⃗ = (−3−2 ; 13−1) = (−5 ; 12). AB = ||AB⃗|| = 13.
Partie C
4) Formule : AB⃗ · AC⃗ = ½(||AB||² + ||AC||² − ||BC||²) = ½(25 + 49 − 64) = ½ × 10 = 5.
(On utilise BC⃗ = AC⃗ − AB⃗, donc ||BC⃗||² = ||AC⃗ − AB⃗||².)