Exercice 3 — Applications du produit scalaire

Partie A — Formule d’Al-Kashi

1) Dans un triangle ABC, on connaît AB = 6, AC = 8, et l’angle en A = π/3. Calculer BC.

2) Dans un triangle PQR, on sait que PQ = 5, QR = 7, PR = 9. Calculer l’angle en Q (donner le résultat en radians approximatif).

Partie B — Cercle de diamètre [AB]

3) Soient A(0, 0) et B(6, 0). Déterminer l’ensemble des points M(x, y) tels que MA⃗ · MB⃗ = 0.
a) Calculer MA⃗ et MB⃗ en fonction de x et y.
b) Développer MA⃗ · MB⃗ = 0 et reconnaître l’équation d’un cercle.
c) Identifier le centre et le rayon de ce cercle.

Partie C — Problème de synthèse

4) Dans un repère orthonormé, on donne A(1, 2), B(5, 4) et C(3, 6).
a) Calculer les longueurs AB, AC et BC.
b) Calculer AB⃗ · AC⃗. Le triangle est-il rectangle en A ?
c) Calculer l’angle BAC à l’aide du produit scalaire et de la formule cosinus.