📘 Suites numériques Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. On note uₙ le terme d’indice n.

📐 I. Généralités

Définition explicite :
uₙ est donné directement en fonction de n. Exemple : ∀ n ∈ ℕ, uₙ = 2n − 1.

Définition par récurrence :

On connaît u₀ (ou u₁) et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ).

Exemple : u₀ = 2 ; uₙ₊₁ = 2uₙ − 1

Terme initial : uₙ₀ est le premier terme de la suite.

Sens de variation :

• Suite croissante : ∀ n, uₙ₊₁ ≥ uₙ (ou uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0).
• Suite décroissante : ∀ n, uₙ₊₁ ≤ uₙ (ou uₙ₊₁ / uₙ ≤ 1 si les termes sont strictement positifs).

📐 II. Suites arithmétiques

Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si ∀ n, uₙ₊₁ = uₙ + r.

• Terme général : uₙ = u₀ + nr (ou uₙ = uₚ + (n − p)r).
• Sens de variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
• Somme de termes consécutifs : uₚ + uₚ₊₁ + … + uₙ = (n − p + 1) × (uₚ + uₙ) / 2 Cas particulier : 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2.

📐 III. Suites géométriques Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si ∀ n, uₙ₊₁ = q × uₙ.

• Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ.
• Sens de variation (u₀ > 0) : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1.
• Somme de termes consécutifs (q ≠ 1) : u₀ + u₁ + … + uₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)

📐 IV. Limites (introduction) On dit que (uₙ) tend vers +∞ si ses termes deviennent arbitrairement grands. On dit que (uₙ) converge vers ℓ si uₙ se rapproche indéfiniment de ℓ. Une suite géométrique de raison q vérifie :

• Si |q| < 1 : uₙ → 0.
• Si q > 1 : uₙ → +∞.
• Si q = 1 : suite constante.

💡 À retenir

• Suite arithmétique : uₙ = u₀ + nr ; somme = (n + 1)(u₀ + uₙ) / 2

• Suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ ; somme = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)

• Variation : étudier uₙ₊₁ − uₙ (arithmétique) ou uₙ₊₁ / uₙ (géométrique)