📘 Dérivation Le nombre dérivé d’une fonction en un point est la limite du taux de variation. Il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe.
📐 I. Taux de variation et nombre dérivé Taux de variation de f entre a et b :
τ =
| f(b) − f(a) |
| b − a |
On considère: b = a + h on a donc: τh =
| f(a + h) − f(a) |
| h |
C’est le coefficient directeur de la sécante (AB). Nombre dérivé:
f'(a) = limh→0 τh= limh→0
| f(a + h) − f(a) |
| h |
(si cette limite existe). Si la limite n’existe pas → f non dérivable en a.
📐 II. Équation de la tangente Tangente à la courbe de f au point d’abscisse a :
y = f'(a)(x − a) + f(a)
📐 III. Dérivées des fonctions de référence
| f(x) | f'(x) | Domaine de dérivabilité | ||
|---|---|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ | ||
| mx + p | m | ℝ | ||
| xⁿ (n ≥ 1) | nxⁿ⁻¹ | ℝ | ||
| xⁿ (n ≤ −1) | nxⁿ⁻¹ | ℝ* | ||
| 1/x |
|
ℝ* | ||
| √x |
|
]0 ; +∞[ |
📐 IV. Règles de dérivation
| Opération | Formule |
|---|---|
| (u + v)’ | u’ + v’ |
| (u × v)’ | u’v + uv’ |
| (1/v)’ | −v’ / v² |
| (u/v)’ | (u’v − uv’) / v² |
| g(ax+b) | a × g'(ax+b) |
📐 V. Valeur absolue f(x) = |x| : dérivable sur ]−∞;0[ (f’=−1) et sur ]0;+∞[ (f’=1), non dérivable en 0.
💡 À retenir
- Tangente : y = f'(a)(x−a) + f(a).
- (uv)’ ≠ u’v’ → utiliser u’v + uv’.
- (u/v)’ : ordre important → u’v − uv’ au numérateur.
- g(ax+b) → multiplier par a.