📘 Fonction exponentielle La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f’ = f et f(0) = 1. Elle est notée exp (ou eˣ), où e ≈ 2,718.
📐 I. Définition et propriétés fondamentales Définition : Il existe une unique fonction exp dérivable sur ℝ telle que : exp' = exp et exp(0) = 1 Notation : exp(x) = eˣ, avec e = exp(1) ≈ 2,718. Propriétés immédiates :
- exp(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ.
- exp(0) = 1, exp(1) = e.
📐 II. Règles de calcul
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Somme → produit | eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ |
| Différence → quotient | eᵃ⁻ᵇ = eᵃ / eᵇ |
| Opposé | e⁻ᵃ = 1/eᵃ |
| Multiple | eⁿᵃ = (eᵃ)ⁿ |
Exemple : e³ˣ⁺² = e³ˣ × e² = (eˣ)³ × e².
📐 III. Variations et courbe La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. 
- Quand x → −∞ : eˣ → 0 (l’axe des abscisses est une asymptote horizontale).
- Quand x → +∞ : eˣ → +∞.
- La courbe passe par (0;1) et (1;e).
📐 IV. Équations et inéquations La stricte croissance permet de « comparer les exposants » :
- eᵃ = eᵇ ⟺ a = b.
- eᵃ < eᵇ ⟺ a < b.
- eᵃ > eᵇ ⟺ a > b.
- eˣ > 1 ⟺ x > 0 ; eˣ < 1 ⟺ x < 0.
Méthode : ramener l’équation/inéquation à une comparaison des exposants.
📐 V. Suites géométriques et exponentielle La suite (eⁿᵃ)_{n∈ℕ} est une suite géométrique de raison eᵃ.
💡 À retenir
• (eˣ)’ = eˣ sur ℝ.
• eᵃ⁺ᵇ = eᵃeᵇ ; e⁻ᵃ = 1/eᵃ.
• Strictement croissante : eᵃ = eᵇ ⟺ a = b.
• Toujours strictement positive.
• Asymptote horizontale en −∞ : y = 0.