📘 Calcul vectoriel et produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Il permet d’étudier l’orthogonalité, les angles et les distances dans le plan.

📐 I. Définition et formules du produit scalaire

Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs, A, B, C tels que u⃗ = AB⃗ et v⃗ = AC⃗.

Formule angulaire :
u⃗ · v⃗ = ‖AB⃗‖ × ‖AC⃗‖ × cos(AB⃗, AC⃗)

Formule par projection orthogonale :
Si A’ et B’ sont les projetés de A et B sur la droite (CD) :
AB⃗ · CD⃗ = ±A'B' × CD (+ si même sens, − sinon)

Formules par les normes :
u⃗ · v⃗ = ½(‖u⃗‖² + ‖v⃗‖² − ‖u⃗ − v⃗‖²)
u⃗ · v⃗ = ½(‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²)

Formule par les coordonnées (dans un repère orthonormé) :
Si u⃗(x,y) et v⃗(x’,y’) :
u⃗ · v⃗ = xx' + yy'

📐 II. Propriétés calculatoires

• u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖² (norme au carré).
• u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ (commutativité).
• (u⃗ + v⃗) · w⃗ = u⃗ · w⃗ + v⃗ · w⃗ (bilinéarité).
• (λu⃗) · v⃗ = λ(u⃗ · v⃗).

Identités remarquables vectorielles :

‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2(u⃗·v⃗) + ‖v⃗‖²
‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2(u⃗·v⃗) + ‖v⃗‖²
(u⃗+v⃗)·(u⃗−v⃗) = ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²

📐 III. Orthogonalité

u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0 (au moins un vecteur non nul).

Application : dans un triangle ABC, BC⃗ ⊥ BA⃗ ⟺ BC⃗ · BA⃗ = 0 (angle droit en B).

📐 IV. Applications géométriques

Distance AB : AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²].

Angle entre deux vecteurs :
cos(u⃗,v⃗) = (u⃗·v⃗) / (‖u⃗‖ × ‖v⃗‖)
Théorème d’Al-Kashi (généralisation de Pythagore) :
Dans un triangle ABC : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â).

💡 À retenir

• u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖‖v⃗‖cos(angle entre u⃗ et v⃗) = xx’ + yy’ (coordonnées).
• u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0.
• u⃗·u⃗ = ‖u⃗‖².
• Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos Â.