📘 Variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité, son espérance et sa variance résument son comportement.
📐 I. Variable aléatoire et loi de probabilité
Définition : X est une fonction X : Ω → ℝ qui associe une valeur numérique à chaque issue.
Loi de probabilité : tableau donnant pour chaque valeur xᵢ prise par X la probabilité P(X = xᵢ) = pᵢ.
Condition : p₁ + p₂ + … + pₙ = 1.
| xᵢ | x₁ | x₂ | … | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| P(X=xᵢ) | p₁ | p₂ | … | pₙ |
📐 II. Espérance
Espérance E(X) = valeur moyenne espérée sur un grand nombre de répétitions :
E(X) = p₁×x₁ + p₂×x₂ + … + pₙ×xₙ = Σ pᵢxᵢ
Interprétation : si on répète l’expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées de X converge vers E(X).
📐 III. Variance et écart-type
Variance V(X) (mesure de dispersion autour de l’espérance) :
V(X) = E[(X − E(X))²] = E(X²) − [E(X)]²
Avec : E(X²) = Σ pᵢ × xᵢ².
Écart-type σ(X) :
σ(X) = √V(X)
Plus V(X) est grand, plus X est dispersée autour de sa moyenne.
📐 IV. Loi de Bernoulli et loi binomiale
Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues : succès (S, proba p) ou échec (Ē, proba 1−p).
Variable de Bernoulli X : X=1 si succès, X=0 si échec. E(X) = p.
Loi binomiale B(n,p) : on répète n fois une épreuve de Bernoulli de manière indépendante.
X = nombre de succès. Alors :
P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ
avec C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) (coefficient binomial).
E(X) = np ; V(X) = np(1−p).
💡 À retenir
• Loi : Σpᵢ = 1.
• E(X) = Σpᵢxᵢ.
• V(X) = E(X²) − [E(X)]² ; σ = √V(X).
• Binomiale B(n,p) : P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ ; E = np.