📘 Probabilités conditionnelles et indépendance

La probabilité conditionnelle P_A(B) est la probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé. Elle est fondamentale pour modéliser des expériences à plusieurs étapes.

📐 I. Probabilité conditionnelle

Définition : Si P(A) ≠ 0 :

⟹ Formule des probabilités composées :
P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) = P(B) × PB(A)

Exemple : 660 filles sur 1200 élèves, 110 filles externes :
P_F(E) = (110/1200) / (660/1200) = 110/660 = 1/6.

📐 II. Arbre pondéré

Un arbre probabiliste représente une expérience à plusieurs étapes.

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud = 1.
• La probabilité d’un chemin = produit des probabilités des branches du chemin.
• P(événement) = somme des probabilités de tous les chemins menant à cet événement.

📐 III. Formule des probabilités totales

Si A₁, A₂, …, A_n forment une partition de l’univers Ω :

P(B) = P(A1)×PA1(B) + P(A2)×PA2(B) + … + P(An)×PAn(B)

Cas le plus courant : partition {A ; Ā} :

P(B) = P(A)×PA(B) + P(Ā)×PĀ(B)

📐 IV. Événements indépendants

A et B sont indépendants si et seulement si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Équivalent à : P_A(B) = P(B) (savoir que A s’est réalisé ne change pas la probabilité de B).

⚠️ Indépendance ≠ incompatibilité : deux événements incompatibles (P(A∩B)=0) ne sont jamais indépendants sauf si P(A)=0 ou P(B)=0.

💡 À retenir

• P_A(B) = P(A∩B) / P(A).
• P(A∩B) = P(A) × P_A(B).
• Prob. totales : P(B) = ΣP(A_i) × P_Ai(B).
• Indépendance : P(A∩B) = P(A)×P(B).