📘 Géométrie repérée

La géométrie repérée utilise les coordonnées et les vecteurs pour étudier droites, cercles et positions relatives dans le plan.

📐 I. Droites dans le plan

Équation cartésienne : toute droite admet une équation ax + by + c = 0 (avec (a,b) ≠ (0,0)).

Équation réduite : y = mx + p (impossible pour droite verticale).

Vecteur directeur de ax + by + c = 0 : u⃗(−b ; a).

Vecteur normal de ax + by + c = 0 : n⃗(a ; b) (perpendiculaire à la droite).

Équation par un point et un vecteur directeur u⃗(α;β) :
β(x − x_A) − α(y − y_A) = 0, soit βx − αy + c = 0.

📐 II. Droite passant par deux points

Pour trouver l’équation de la droite (AB) :

1. Calculer AB⃗ = (x_B − x_A ; y_B − y_A) → vecteur directeur.
2. Former l’équation ax + by + c = 0 avec a = y_B − y_A, b = −(x_B − x_A).
3. Trouver c en substituant les coordonnées de A (x_A ; y_A).

📐 III. Positions relatives de deux droites

• Parallèles : vecteurs directeurs colinéaires ET droites distinctes.
• Confondues : même équation (à coefficient multiplicatif près).
• Sécantes : un unique point d’intersection.
• Perpendiculaires : vecteurs directeurs orthogonaux (produit scalaire nul).

📐 IV. Cercle dans le plan

Le cercle de centre Ω(a;b) et de rayon r a pour équation :
(x − a)² + (y − b)² = r²

Développée : x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0.

Un point M(x,y) est à l’intérieur du cercle si (x−a)² + (y−b)² < r².

📐 V. Distance d’un point à une droite

Distance du point A(x_A; y_A) à la droite d’équation ax + by + c = 0 :

💡 À retenir

• Droite : ax + by + c = 0 ↔ vecteur normal n⃗(a;b), vecteur directeur u⃗(−b;a).
• Cercle : (x−a)² + (y−b)² = r² avec centre (a;b).
• Distance point/droite : |ax_A + by_A + c| / √(a² + b²).
• Droites ⊥ ⟺ aa’ + bb’ = 0 (produit scalaire des normales = 0).