📘 Fonctions polynômes du second degré (trinômes)

Une fonction polynôme du second degré est de la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Elle peut s’écrire sous trois formes et ses racines se trouvent via le discriminant.

📐 I. Les trois formes

Forme développée : f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β, avec :
α = −b/(2a)   ;   β = f(α) = −(b² − 4ac)/(4a)
Le sommet de la parabole est le point S(α, β).

Forme factorisée : si f admet deux racines x₁ et x₂, alors :
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

📐 II. Discriminant et racines

On calcule Δ = b² − 4ac.

• Si Δ < 0 : aucune racine réelle. f(x) a le signe de a pour tout x.
• Si Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a). f(x) = a(x − x₀)².
• Si Δ > 0 : deux racines distinctes :
  x₁ = (−b − √Δ) / (2a)   ;   x₂ = (−b + √Δ) / (2a)

Relations racines-coefficients (si Δ ≥ 0) :
x₁ + x₂ = −b/a   ;   x₁ × x₂ = c/a

📐 III. Signe du trinôme

Si Δ > 0 avec x₁ < x₂ :

• f(x) > 0 pour x ∈ ]−∞;x₁[ ∪ ]x₂;+∞[ si a > 0.
• f(x) < 0 pour x ∈ ]x₁;x₂[ si a > 0 (inverse si a < 0).

Résumé du signe : le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.

📐 IV. Tableau de variations

La parabole a un sommet en x = α = −b/(2a) :

• Si a > 0 : minimum en α, f décroissante sur ]−∞;α] puis croissante sur [α;+∞[.
• Si a < 0 : maximum en α, sens inverse.

💡 À retenir

• Discriminant : Δ = b² − 4ac. Signe de Δ → nombre de racines.
• Forme canonique : sommet S(−b/(2a), f(−b/(2a))).
• Forme factorisée possible seulement si Δ ≥ 0.
• Signe du trinôme : du signe de a à l’extérieur des racines (si Δ > 0).