✅ Corrigé détaillé — Exercice 1

Partie A

1a) τ = (25 − 4) / (5 − 2) = 21/3 = 7.
1b) τ = (11 − (−1)) / (4 − 0) = 12/4 = 3 (= coefficient directeur m = 3, cohérent).
1c) τ = (1/3 − 1/1) / (3 − 1) = (−2/3) / 2 = −1/3.
1d) τ = [(3+h)² − 3²] / h = [9 + 6h + h² − 9] / h = (6h + h²) / h = 6 + h.

2) Quand h → 0 : 6 + h → 6. Donc f'(3) = 6. (Cohérent avec (x²)’ = 2x → f'(3) = 2×3 = 6 ✓.)

Partie B

3a) f(x) = x³, a = 2.
τ = [(2+h)³ − 8] / h = [8 + 12h + 6h² + h³ − 8] / h = [12h + 6h² + h³] / h = 12 + 6h + h².
h → 0 : τ → 12. Donc f'(2) = 12. (Cohérent avec (x³)’ = 3x² → f'(2) = 12 ✓.)

3b) g(x) = 2x² − 3x + 1, a = 1.
g(1+h) = 2(1+h)² − 3(1+h) + 1 = 2(1+2h+h²) − 3 − 3h + 1 = 2h² + h.
g(1) = 2 − 3 + 1 = 0.
τ = (2h² + h) / h = 2h + 1 → g'(1) = 1. (Cohérent avec g'(x) = 4x − 3 → g'(1) = 1 ✓.)

Partie C

4a) f(x) = x², f(3) = 9, f'(3) = 6.
Équation : y = 6(x − 3) + 9 = y = 6x − 9.

4b) g(x) = x³ − 2x + 1, g'(x) = 3x² − 2. g'(1) = 1. g(1) = 1 − 2 + 1 = 0.
Équation : y = 1(x − 1) + 0 = y = x − 1.

5) Tangente horizontale ↔ f'(x) = 0.
f(x) = x² − 4x + 1 → f'(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2.
f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
La tangente est horizontale au point (2, −3).