📘 Dérivées des fonctions de référence
Les domaines de dérivabilité et les formules des dérivées des fonctions de référence sont à connaître par cœur.
📐 Tableau des dérivées de référence
| Fonction f(x) | Ensemble de définition de f | Dérivée f'(x) | Ensemble de dérivabilité |
|---|---|---|---|
| k (constante) | ℝ | 0 | ℝ |
| mx + p (affine) | ℝ | m | ℝ |
| x² (carré) | ℝ | 2x | ℝ |
| x³ (cube) | ℝ | 3x² | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℤ, n ≥ 1) | ℝ | nxⁿ⁻¹ | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℤ, n ≤ −1) | ℝ* | nxⁿ⁻¹ | ℝ* |
| 1/x (inverse) | ℝ* | −1/x² | ℝ* |
| √x (racine carrée) | [0 ; +∞[ | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
Remarques importantes :
• La fonction √x est définie en 0 mais non dérivable en 0 (le taux de variation tend vers +∞).
• L’ensemble de définition d’une fonction n’est pas nécessairement égal à son ensemble de dérivabilité.
📐 Formule générale pour xⁿ
Pour tout n ∈ ℤ, la fonction f(x) = xⁿ vérifie :
f'(x) = n × xⁿ⁻¹
Exemple : f(x) = x⁻³ = 1/x³ → f'(x) = −3x⁻⁴ = −3/x⁴.
💡 À retenir
• Les 8 formules du tableau sont à connaître par cœur.
• (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ pour tout n entier (n ≥ 1).
• (√x)’ = 1/(2√x) sur ]0 ; +∞[.
• (1/x)’ = −1/x² sur ℝ*.