✅ Corrigé détaillé — Exercice 3
Partie A
1) f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4.
f'(x) = 6x² − 18x + 12.
2) f'(x) = 0 ↔ 6x² − 18x + 12 = 0 ↔ x² − 3x + 2 = 0 (division par 6).
Δ = 9 − 8 = 1. x₁ = (3−1)/2 = 1 ; x₂ = (3+1)/2 = 2.
Factorisation : f'(x) = 6(x−1)(x−2).
3) Tableau de signes de f'(x) = 6(x−1)(x−2) (a = 6 > 0) :
| x | −∞ | 1 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | ↗ | max local | ↘ | min local | ↗ |
Partie B
4) f(1) = 2 − 9 + 12 − 4 = 1 (maximum local).
f(2) = 16 − 36 + 24 − 4 = 0 (minimum local).
Ces valeurs correspondent aux extrema de f : f(1) = 1 est un maximum local et f(2) = 0 est un minimum local.
5) En a = 0 : f(0) = −4 ; f'(0) = 12.
Équation de la tangente : y = 12(x − 0) + (−4) → y = 12x − 4.
6) En a = 3 : f(3) = 54 − 81 + 36 − 4 = 5 ; f'(3) = 6(9) − 18(3) + 12 = 54 − 54 + 12 = 12.
Équation de la tangente : y = 12(x − 3) + 5 = 12x − 36 + 5 → y = 12x − 31.
Partie C
7) Tangente horizontale ↔ f'(x) = 0 ↔ x = 1 ou x = 2.
Interprétation géométrique : aux points d’abscisse x = 1 et x = 2, la tangente à la courbe est horizontale. Ce sont les points de « palier » (où la courbe change de sens de variation) — les extrema locaux.
8) Extrema de f :
• En x = 1 (f’ s’annule en changeant de + à −) : maximum local de valeur f(1) = 1. Coordonnées du point : (1 ; 1).
• En x = 2 (f’ s’annule en changeant de − à +) : minimum local de valeur f(2) = 0. Coordonnées du point : (2 ; 0).