📘 La fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue |x| est définie sur ℝ mais n’est pas dérivable en 0. C’est un exemple de fonction continue mais non dérivable en un point.
📐 Définition
La fonction valeur absolue est définie par :
|x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x si x < 0
📐 Dérivée de la valeur absolue
| Intervalle | Expression de |x| | Dérivée |
|---|---|---|
| ]−∞ ; 0[ | −x | −1 |
| ]0 ; +∞[ | x | 1 |
| x = 0 | Non dérivable | Non dérivable |
En x = 0 : limite du taux de variation par valeurs positives = 1, mais par valeurs négatives = −1. Les limites sont différentes → |x| n’est pas dérivable en 0.
Graphiquement : la courbe de |x| forme un angle (sommet pointu) en 0, ce qui confirme qu’on ne peut pas y tracer une tangente unique.
💡 À retenir
• |x|’ = 1 sur ]0 ; +∞[ et |x|’ = −1 sur ]−∞ ; 0[.
• |x| n’est pas dérivable en 0 : les limites du taux de variation à gauche (−1) et à droite (+1) sont différentes.
• Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.