📘 Règles de dérivation : somme, produit, quotient, composition affine
Les formules de dérivation des opérations (somme, produit, quotient) et de la composition avec une fonction affine permettent de dériver des fonctions plus complexes à partir des fonctions de référence.
📐 Les quatre règles de dérivation
| Opération | Formule | Condition | Exemple |
|---|---|---|---|
| Somme : f = u + v | f’ = u’ + v’ | u et v dérivables sur I | f(x) = x² + √x → f'(x) = 2x + 1/(2√x) |
| Produit : f = u × v | f’ = u’v + uv’ | u et v dérivables sur I | f(x) = x² × √x → f'(x) = 2x√x + x²×1/(2√x) |
| Inverse : f = 1/v | f’ = −v’/v² | v dérivable, v ≠ 0 sur I | f(x) = 1/x² → v=x², v’=2x, f'(x) = −2x/x⁴ = −2/x³ |
| Quotient : f = u/v | f’ = (u’v − uv’) / v² | u, v dérivables, v ≠ 0 sur I | f(x) = (x²+1)/x → f'(x) = (2x·x − (x²+1)·1)/x² = (x²−1)/x² |
📐 Composition avec une fonction affine : f(x) = g(ax + b)
Soit g dérivable sur J, a et b réels, f(x) = g(ax + b). Alors f est dérivable et :
f'(x) = a × g'(ax + b)
| f(x) | g(x) | a, b | f'(x) = a × g'(ax+b) |
|---|---|---|---|
| (3x − 2)² | x² | a=3, b=−2 | f'(x) = 3 × 2(3x−2) = 6(3x−2) |
| (2x + 1)³ | x³ | a=2, b=1 | f'(x) = 2 × 3(2x+1)² = 6(2x+1)² |
| √(3x − 2) | √x | a=3, b=−2 | f'(x) = 3 × 1/(2√(3x−2)) = 3/(2√(3x−2)) |
| 1/(4x + 1) | 1/x | a=4, b=1 | f'(x) = 4 × (−1/(4x+1)²) = −4/(4x+1)² |
💡 À retenir
• (u + v)’ = u’ + v’.
• (uv)’ = u’v + uv’.
• (1/v)’ = −v’/v².
• (u/v)’ = (u’v − uv’) / v².
• g(ax+b) → dérivée = a × g'(ax+b).
• Pour le quotient : ne pas oublier le signe moins et l’ordre (u’v − uv’, pas uv’ − u’v).