📘 Taux de variation et nombre dérivé en un point
Le taux de variation mesure la variation moyenne d’une fonction entre deux points. Lorsqu’il admet une limite quand les deux points se rapprochent, cette limite est le nombre dérivé de la fonction en ce point.
📐 Taux de variation
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a, b deux réels distincts de I. Le taux de variation de f entre a et b est :
τ(f, a, b) = [f(b) − f(a)] / (b − a)
En posant b = a + h (avec h ≠ 0) :
τ(f, a, a+h) = [f(a+h) − f(a)] / h
Géométriquement, c’est le coefficient directeur de la droite sécante à la courbe passant par les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)).
Exemple : Fonction carrée f(x) = x², taux de variation entre 1 et 3 :
τ = (9 − 1) / (3 − 1) = 8/2 = 4.
📐 Nombre dérivé en un point
Soit f définie sur un intervalle I et a ∈ I. La fonction f est dérivable en a s’il existe un réel ℓ tel que :
lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h = ℓ
On note alors f'(a) = ℓ. Ce réel s’appelle le nombre dérivé de f en a.
Exemple de non-dérivabilité : f(x) = √x en a = 0.
τ(f, 0, h) = √h / h = 1/√h → +∞ quand h → 0. La limite n’est pas réelle → √x n’est pas dérivable en 0.
Cas de la fonction affine : f(x) = mx + p.
τ(f, a, a+h) = [m(a+h)+p − (ma+p)] / h = mh/h = m.
→ f est dérivable en tout a et f'(a) = m.
💡 À retenir
• Taux de variation = [f(b) − f(a)] / (b − a) = coefficient directeur de la sécante (AB).
• Nombre dérivé f'(a) = limite du taux de variation quand h → 0.
• Si cette limite n’existe pas → f non dérivable en a.
• f affine (mx + p) → dérivable partout, f'(a) = m.