📘 Tangente à la courbe et équation de tangente

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. On peut en déduire l’équation de cette tangente.

📐 La tangente comme droite limite des sécantes

Soit f dérivable en a. Le point A a pour coordonnées (a, f(a)). Lorsqu’un point M de la courbe se rapproche de A, les sécantes (AM) se rapprochent d’une droite limite : la tangente à la courbe en A.

Le coefficient directeur de cette tangente est f'(a). Donc :

f'(a) = coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a

📐 Équation de la tangente

Une équation de la tangente T_a à la courbe de f au point d’abscisse a est :

y = f'(a)(x − a) + f(a)

Cette droite passe par le point A(a, f(a)) et a pour coefficient directeur f'(a).

📐 Exemple complet

Soit g(x) = −3x² + 2x + 1. Calculer l’équation de la tangente en a = −3.

Étape 1 — Calculer g(−3) :
g(−3) = −3(9) + 2(−3) + 1 = −27 − 6 + 1 = −32.

Étape 2 — Calculer g'(−3) par la définition :
τ(g, −3, −3+h) = [g(−3+h) − g(−3)] / h.
g(−3+h) = −3(−3+h)² + 2(−3+h) + 1 = −3(9−6h+h²) − 6 + 2h + 1 = −3h² + 20h − 32.
τ = (−3h² + 20h − 32 − (−32)) / h = (−3h² + 20h) / h = −3h + 20 → g'(−3) = 20.

Étape 3 — Équation de T_{-3} :
y = 20(x − (−3)) + (−32) = 20(x + 3) − 32.
Soit : y = 20x + 28.

💡 À retenir

• f'(a) = coefficient directeur de la tangente en a.
• Équation de tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a).
• La tangente passe par le point (a, f(a)).