Exercice 3 — Problème de synthèse type Baccalauréat

Contexte

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4

Partie A — Calcul de la dérivée

1) Calculer f'(x).

2) Résoudre f'(x) = 0 dans ℝ. (Factoriser f'(x).)

3) Dresser le tableau de signes de f'(x) et en déduire les variations de f.

Partie B — Valeurs et tangentes

4) Calculer f(1) et f(2). Que peut-on dire de ces valeurs par rapport au tableau de variations ?

5) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x = 0.

6) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x = 3.

Partie C — Résolution d’équation

7) On cherche les valeurs de x pour lesquelles la tangente à la courbe est horizontale. Résoudre f'(x) = 0 et interpréter géométriquement.

8) En utilisant les résultats précédents, déterminer les extrema de f (maximum local et minimum local) et leurs coordonnées.