✅ Corrigé détaillé — Exercice 3
Partie A
1) A ∪ B ∪ C = Ω (toute la production) et A, B, C sont deux à deux incompatibles (un composant vient d’une seule ligne). → {A, B, C} est une partition de Ω. Vérification : P(A) + P(B) + P(C) = 0,50 + 0,30 + 0,20 = 1 ✓.
2) Tableau :
| Ligne X | P(X) | P_X(D) | P_X(D̄) |
|---|---|---|---|
| A | 0,50 | 0,04 | 0,96 |
| B | 0,30 | 0,06 | 0,94 |
| C | 0,20 | 0,05 | 0,95 |
3) P(A ∩ D) = 0,50 × 0,04 = 0,020.
P(B ∩ D) = 0,30 × 0,06 = 0,018.
P(C ∩ D) = 0,20 × 0,05 = 0,010.
Partie B
4) P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) + P(C ∩ D) = 0,020 + 0,018 + 0,010 = 0,048.
Soit 4,8 % des composants sont défectueux.
5) Formule de Bayes : P_D(X) = P(X ∩ D) / P(D).
a) P_D(A) = 0,020 / 0,048 = 5/12 ≈ 0,417.
b) P_D(B) = 0,018 / 0,048 = 3/8 = 0,375.
c) P_D(C) = 0,010 / 0,048 = 5/24 ≈ 0,208.
6) P_D(A) ≈ 41,7 % est la plus élevée → la ligne A est la plus probablement responsable d’un composant défectueux. Cela s’explique par son volume de production très important (50 % de la production).
7) P_D(A) + P_D(B) + P_D(C) = 0,020/0,048 + 0,018/0,048 + 0,010/0,048 = (0,020 + 0,018 + 0,010) / 0,048 = 0,048/0,048 = 1 ✓.