Exercice 2 — Arbre pondéré et formule des probabilités totales
Contexte : Test médical
Un test médical dépiste une maladie. Dans la population considérée :
• 3 % des personnes sont malades.
• Le test donne un résultat positif pour 95 % des personnes malades (vrais positifs).
• Le test donne un résultat positif pour 8 % des personnes non malades (faux positifs).
On note M l’événement « la personne est malade » et T l’événement « le test est positif ».
Partie A — Construction de l’arbre
1) Compléter le tableau des probabilités à placer sur l’arbre :
| Branche | Probabilité |
|---|---|
| P(M) | … |
| P(M̄) | … |
| P_M(T) | … |
| P_M(T̄) | … |
| P_M̄(T) | … |
| P_M̄(T̄) | … |
Partie B — Calculs
2) Calculer P(M ∩ T) et P(M̄ ∩ T).
3) Calculer P(T) (probabilité que le test soit positif) à l’aide des probabilités totales.
4) Sachant que le test est positif, calculer la probabilité que la personne soit réellement malade : P_T(M).
5) Interpréter le résultat de la question 4.