📘 Définition des probabilités conditionnelles
La probabilité conditionnelle P_A(B) est la probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé. Elle se calcule à partir de la probabilité de l’intersection et de la probabilité de A.
📐 Définition
Soient A et B deux événements avec P(A) ≠ 0. La probabilité conditionnelle de B sachant A est :
P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)
Cette formule se réécrit aussi : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
📐 Méthodes de calcul
| Méthode | Formule | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| Par la définition | P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) | Quand on connaît P(A ∩ B) et P(A) |
| Par tableau d’effectifs (équiprobabilité) | P_A(B) = (effectif A ∩ B) / (effectif A) | Situations d’équiprobabilité avec tableau |
| Par arbre pondéré | Lire la probabilité sur la branche B issue du nœud A | Quand l’arbre est donné ou construit |
📐 Exemple complet — Tableau d’effectifs
Lycée de 1 200 élèves : 660 filles, 540 garçons ; 110 filles externes, 60 garçons externes.
| Externes | Non externes | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 110 | 550 | 660 |
| Garçons | 60 | 480 | 540 |
| Total | 170 | 1 030 | 1 200 |
P(F) = 660/1200 = 11/20. P(E ∩ F) = 110/1200 = 11/120.
P_F(E) = P(E ∩ F) / P(F) = (11/120) / (11/20) = (11/120) × (20/11) = 20/120 = 1/6.
Ou directement : P_F(E) = 110/660 = 1/6 (proportion de filles externes parmi les filles).
⚠️ Ne pas confondre
| Notation | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| P(A ∩ B) | Probabilité que A ET B soient réalisés (parmi tous les élèves) | Probabilité d’un garçon externe parmi tous les élèves = 60/1200 |
| P_A(B) | Probabilité que B soit réalisé SACHANT que A est réalisé (parmi les A) | Probabilité d’un externe sachant garçon = 60/540 |
💡 À retenir
• P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).
• En équiprobabilité : P_A(B) = effectif(A ∩ B) / effectif(A).
• P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) (formule multiplicative).