📘 L’indépendance de deux événements
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Cela se traduit par P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
📐 Définition
Deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants si et seulement si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Formulations équivalentes :
• P_A(B) = P(B) (la réalisation de A ne change pas la probabilité de B).
• P_B(A) = P(A) (la réalisation de B ne change pas la probabilité de A).
📐 Propriété : indépendance des complémentaires
Si A et B sont indépendants, alors Ā et B̄ sont également indépendants (et aussi A et B̄, Ā et B).
📐 Comment vérifier l’indépendance
| Méthode | Critère |
|---|---|
| Par la définition | Calculer P(A ∩ B) et P(A) × P(B). Si égaux → indépendants |
| Par la probabilité conditionnelle | Vérifier que P_A(B) = P(B) |
| Par tableau | Comparer le rapport (A ∩ B)/A avec B/Ω |
📐 Exemple — Lycée
F = « fille », I = « interne ». P(F) = 0,55, P(I) = 0,10.
P(F ∩ I) = P(F) × P_F(I) = 0,55 × 0,10 = 0,055.
P(F) × P(I) = 0,55 × 0,10 = 0,055.
P(F ∩ I) = P(F) × P(I) → F et I sont indépendants.
Interprétation : le fait d’être fille ou garçon ne modifie pas la probabilité d’être interne (même taux d’internat dans les deux groupes).
⚠️ Attention : indépendance ≠ absence de lien
Des événements indépendants peuvent avoir un lien dans la réalité. Ici, des filles internes existent bien — mais la proportion d’internes est la même chez les filles et chez les garçons.
💡 À retenir
• Indépendance : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• Équivalent : P_A(B) = P(B).
• Si A ⊥ B, alors Ā ⊥ B̄, A ⊥ B̄, Ā ⊥ B.
• Indépendance ≠ incompatibilité (deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants).