📘 La formule des probabilités totales

La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d’un événement B en décomposant l’univers en une partition. Elle correspond à la somme des probabilités de tous les chemins aboutissant à B dans l’arbre.

📐 Définition : partition de l’univers

Des événements A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l’univers Ω si :
• Ils sont deux à deux incompatibles : Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ pour i ≠ j.
• Leur réunion est l’univers entier : A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ Aₙ = Ω.

Cas le plus courant : {A, Ā} forme toujours une partition de Ω.

📐 Formule des probabilités totales

Si {A₁, A₂, …, Aₙ} est une partition de Ω avec P(Aᵢ) ≠ 0 pour tout i, alors pour tout événement B :

P(B) = P(A₁) × P_A₁(B) + P(A₂) × P_A₂(B) + … + P(Aₙ) × P_Aₙ(B)

Cas particulier (partition à deux événements) :

P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)

Équivalent à : P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ā).

Dans un arbre pondéré : P(B) = somme des probabilités de tous les chemins aboutissant à B.

📐 Exemple — Contrôle qualité (suite)

P(A) = P(B) × P_B(A) + P(B̄) × P_B̄(A) = 0,98 × 0,96 + 0,02 × 0,02 = 0,9408 + 0,0004 = 0,9412.

Interprétation : 94,12 % des pièces sont acceptées par le contrôle.

📐 Exemple — Lycée (suite)

P(I) = P(F) × P_F(I) + P(F̄) × P_F̄(I) = 0,55 × 0,10 + 0,45 × 0,10 = 0,055 + 0,045 = 0,10.

10 % des élèves sont internes, indépendamment du genre.

💡 À retenir

• Partition : événements incompatibles de réunion Ω. Exemple classique : {A, Ā}.
• Formule : P(B) = Σ P(Aᵢ) × P_Aᵢ(B).
• Traduction arbre : P(B) = somme des probabilités de tous les chemins finissant en B.