📘 Lecture d’un arbre pondéré
Un arbre pondéré représente une succession d’épreuves aléatoires avec des probabilités conditionnelles. Deux règles essentielles permettent de calculer toutes les probabilités.
📐 Les deux règles fondamentales d’un arbre pondéré
| Règle | Énoncé |
|---|---|
| Règle de la somme | La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1 |
| Règle du produit (chemin) | La probabilité de l’événement représenté par un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin |
📐 Structure d’un arbre à deux niveaux
Pour deux événements A (avec complémentaire Ā) et B (avec complémentaire B̄) :
| Chemin | Événement | Probabilité |
|---|---|---|
| A → B | A ∩ B | P(A) × P_A(B) |
| A → B̄ | A ∩ B̄ | P(A) × P_A(B̄) |
| Ā → B | Ā ∩ B | P(Ā) × P_Ā(B) |
| Ā → B̄ | Ā ∩ B̄ | P(Ā) × P_Ā(B̄) |
La somme des 4 probabilités ci-dessus vaut 1.
📐 Exemple — Contrôle qualité
2 % des pièces sont défectueuses. Le contrôle accepte 96 % des bonnes pièces et rejette 98 % des défectueuses.
B = « bonne pièce », A = « pièce acceptée ».
P(B) = 0,98, P(B̄) = 0,02 ; P_B(A) = 0,96, P_B(Ā) = 0,04 ; P_B̄(A) = 0,02, P_B̄(Ā) = 0,98.
| Chemin | Événement | Probabilité |
|---|---|---|
| B → A | Bonne et acceptée | 0,98 × 0,96 = 0,9408 |
| B → Ā | Bonne et refusée | 0,98 × 0,04 = 0,0392 |
| B̄ → A | Défectueuse et acceptée | 0,02 × 0,02 = 0,0004 |
| B̄ → Ā | Défectueuse et refusée | 0,02 × 0,98 = 0,0196 |
💡 À retenir
• Branches issues d’un même nœud : somme = 1.
• Probabilité d’un chemin : produit des branches.
• Pour trouver P(B), additionner tous les chemins aboutissant à B (formule des probabilités totales).