Exercice 3 — Problème de synthèse type Baccalauréat

Contexte : Contrôle qualité dans une usine

Une usine produit des composants électroniques sur trois lignes de production :

• La ligne A produit 50 % des composants ; 4 % sont défectueux.
• La ligne B produit 30 % des composants ; 6 % sont défectueux.
• La ligne C produit 20 % des composants ; 5 % sont défectueux.

On prélève un composant au hasard. On note A, B, C les événements « le composant vient de la ligne A/B/C » et D l’événement « le composant est défectueux ».

Partie A — Arbre et probabilités

1) Vérifier que {A, B, C} forme une partition de l’univers.

2) Dresser un tableau des probabilités (P(X) et P_X(D) pour X = A, B, C).

3) Calculer P(A ∩ D), P(B ∩ D) et P(C ∩ D).

Partie B — Probabilités totales et Bayes

4) Calculer P(D) à l’aide de la formule des probabilités totales.

5) Sachant que le composant est défectueux, calculer la probabilité qu’il vienne de chaque ligne :
a) P_D(A)    b) P_D(B)    c) P_D(C)

6) Quelle ligne de production est la plus probablement responsable d’un composant défectueux ?

7) Vérifier que P_D(A) + P_D(B) + P_D(C) = 1.