📘 Bilan — Récapitulatif complet du chapitre
🔹 Propriétés de base
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Définition | exp’ = exp et exp(0) = 1 |
| Notation | exp(x) = eˣ, e ≈ 2,718 |
| Positivité | ∀ x ∈ ℝ, eˣ > 0 |
| Valeur en 0 | e⁰ = 1 |
| Dérivée | (eˣ)’ = eˣ |
| Dérivée composée | (e^(ax+b))’ = a × e^(ax+b) |
🔹 Propriétés algébriques
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Somme → produit | e^(x+y) = eˣ × eʸ |
| Différence → quotient | e^(x−y) = eˣ / eʸ |
| Opposé | e^(−x) = 1/eˣ |
| Puissance | e^(nx) = (eˣ)ⁿ |
🔹 Variations et résolution
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Variation | Strictement croissante sur ℝ |
| Équation | eᵃ = eᵇ ⟺ a = b |
| Inéquation | eᵃ < eᵇ ⟺ a < b |
| Cas particulier | eˣ > 1 ⟺ x > 0 |
🔹 Pièges à éviter
• eˣ ≠ 0 pour aucun réel x (la fonction exponentielle ne s’annule jamais).
• e^(x+y) ≠ eˣ + eʸ : la somme dans l’exposant devient un produit, pas une somme.
• (eˣ)’ = eˣ, pas neˣ⁻¹ (la règle de dérivation des puissances nxⁿ⁻¹ ne s’applique pas à eˣ).
• Pour résoudre eᵃ < eᵇ, le sens de l’inégalité se conserve (car exp est croissante) : a < b.
• Bien distinguer e^(2x) = (eˣ)² et 2eˣ.